Bài Tập 9 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10

Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng – Hình Học Lớp 10

Bài 3: Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Và Giải Tam Giác

Bài Tập 9 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10

Cho hình bình hành \(\)\(ABCD\) có \(AB = a, BC = b, BD = m\) và \(AC = n\). Chứng minh rằng \(m^2 + n^2 = 2(a^2 + b^2)\).

Lời Giải Bài Tập 9 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10

Công thức đường trung tuyến: \(m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) – a^2}{4}\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Tam giác ABD có AO là đường trung tuyến.

Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

\(AO^2 = \frac{2(a^2 + b^2) – m^2}{4}\)

Mà O là trung điểm AC nên \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{n}{2}\)

Thay \(OA = \frac{n}{2}, AB = a, AD = BC = b\) và \(BD = m\) ta được:

\((\frac{n}{2})^2 = \frac{2(a^2 + b^2) – m^2}{4}\)

\(⇔ \frac{n^2}{4} = \frac{2(a^2 + b^2) – m^2}{4}\)

\(⇔ n^2 = 2(a^2 + b^2) – m^2\)

\(⇔ m^2 + n^2 = 2(a^2 + b^2)\)

Cách 2:

Áp dụng định lý đường trung tuyến cho tam giác ABC có BO là đường trung tuyến ra có:

\(BO^2 = \frac{2(BA^2 + bC^2) – AC^2}{4}\)

\(⇔ (\frac{m}{2})^2 = \frac{2(a^2 + b^2) – n^2}{4}\)

\(⇔ m^2 = 2(a^2 + b^2) – n^2\)

\(⇔ m^2 + n^2 = 2(a^2 + b^2)\)

Cách 3:

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABC có:

\(AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2AB.BCcos\widehat{ABC}\)

\(⇒ n^2 = a^2 + b^2 – 2abcos\widehat{ABC}\)

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABD có:

\(BD^2 = AB^2 + AD^2 – 2AB.ADcos\widehat{BAD}\)

\(⇒ m^2 = a^2 + b^2 – 2abcos\widehat{BAD}\)

\(⇒ m^2 + n^2\)

\(= (a^2 + b^2) – 2abcos\widehat{ABC} + (a^2 + b^2) – 2abcos\widehat{BAD}\)

\(= 2(a^2 + b^2) – 2ab(cos\widehat{ABC} + cos\widehat{BAD})\)

Mà \(\widehat{ABC} + \widehat{BAD} = 180^0 ⇒ cos\widehat{ABC} = -cos(180^0 – \widehat{ABC}) = -cos\widehat{BAD}\)

\(⇒ cos\widehat{ABC} + cos\widehat{BAD} = 0\)

Vậy \(m^2 + n^2 = 2(a^2 + b^2)\)

Xét \(ΔABC:BO\) là đường trung tuyến:

\(BO^2 = \frac{2(AB^2 + BC^2) – AC^2}{4} = \frac{2(a^2 + b^2) – n^2}{4}\)

\(⇒ 4BO^2 = 2(a^2 + b^2) – n^2\)

Mặt khác: \(BO = \frac{1}{2}BD = \frac{m}{2}\)

Khi đó: \(4.(\frac{m}{2})^2 = 2(a^2 + b^2) – n^2\)

\(⇒ m^2 = 2(a^2 + b^2) – n^2 ⇒ m^2 + n^2 = 2(a^2 + b^2)\)

Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 9 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 3: Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Và Giải Tam Giác Thuộc Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.