Bài Tập 7 Trang 114 SGK Hình Học Lớp 11

Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11

Bài 4: Hai Mặt Phẳng Vuông Góc

Bài Tập 7 Trang 114 SGK Hình Học Lớp 11

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c.

a. Chứng minh rằng mặt phẳng (ADC’B’) vuông góc với mặt phẳng (ABB’A’).

b. Tính độ dài đường chéo AC’ theo a, b, c.

Lời Giải Bài Tập 7 Trang 114 SGK Hình Học Lớp 11

Câu a: Chứng minh rằng mặt phẳng (ADC’B’) vuông góc với mặt phẳng (ABB’A’).

Mà DA ⊂ (ADC’B’)

⇒ (ADC’B’) ⊥ (ABB’A’)

Câu b: Tính độ dài đường chéo AC’ theo a, b, c.

\(\begin{cases}C’C ⊥ CD\\C’C ⊥ CB\end{cases} ⇒ C’C ⊥ (ABCD)\)

Mà CA ⊂ (ABCD) ⇒ C’C’ ⊥ CA hay tam giác ACC’ vuông tại C.

Xét tam giác vuông ACC’.

\(AC’ = \sqrt{AC^2 + CC^2} = \sqrt{AD^2 + DC^2 + CC’^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.\)

Ghi nhớ: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi mặt này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt kia.

Câu a: Chứng minh rằng mặt phẳng (ADC’B’) vuông góc với mặt phẳng (ABB’A’).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD ⊥ AB (1) vì ADD’A’ là hình chữ nhật nên AD ⊥ AA’ (2) từ (1) và (2) ⇒ AD ⊥ (ABB’A’) mà AD ⊂ (ADC’B’) nên (ADC’B’) ⊥ (ABB’A’).

Câu b: Tính độ dài đường chéo AC’ theo a, b, c.

Ta có: \(\overrightarrow{AC’} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}\)

\(⇒ \overrightarrow{AC’}^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’})^2\)

\(= \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AD}^2 + \overrightarrow{AA’}^2 + 2(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{AA’}.\overrightarrow{AD})\)

\(= a^2 + b^2 + c^2\)

(vì \(AB ⊥ AD, AB ⊥ AA’, AD ⊥ AA’\) nên các tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 0, \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AA’} = 0, \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA’} = 0\))

Vậy \(AC’ = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)

Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 7 Trang 114 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 4: Hai Mặt Phẳng Vuông Góc Thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.