Bài Tập 6 Trang 84 SGK Hình Học Lớp 10

Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 10

Bài 2: Phương Trình Đường Tròn

Bài Tập 6 Trang 84 SGK Hình Học Lớp 10

Cho đương tròn \(\)\((C)\) có phương trình \(x^2 + y^2 – 4x + 8y – 5 = 0\).

a. Tìm tọa độ tâm và bán kính của \((C)\)

b. Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) đi qua điểm \(A(-1; 0)\)

c. Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\).

Lời Giải Bài Tập 6 Trang 84 SGK Hình Học Lớp 10

Câu a: Tìm tọa độ tâm và bán kính của \((C)\)

Phương pháp giải:

Đường tròn \((C): x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0\) có tâm \(I(a; b)\) và bán kính \(R = \sqrt{a^2 + b^2 – c}\)

Giải:

Ta có: \(a = 2, b = -4, c = -5\)

Đường tròn có tâm \(I(2; -4)\), bán kính \(R = \sqrt{2^2 + (-4)^2 – (-5)} = 5\)

Cách khác:

\(x^2 + y^2 – 4x + 8y – 5 = 0\)

\(⇔ x^2 – 2.x.2 + 2^2 + y^2 + 2.y.4 + 4^2 = 25\)

\(⇔ (x – 2)^2 + (y + 4)^2 = 5^2\)

Tâm \(I(2; -4)\), bán kính \(R = 5\)

Câu b: Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) đi qua điểm \(A(-1; 0)\)

Phương pháp giải:

Xét xem điểm A có thuộc đường tròn \((C)\) hay không.

Nếu A thuộc \((C)\) thì tiếp tuyến tại A của \((C)\) nhận \(\overrightarrow{IA}\) làm vectơ pháp tuyến.

Giải:

Thay tọa độ \(A(-1; 0)\) vào vế trái, ta có:

\((-1 – 2)^2 + (0 + 4)^2 = 3^2 + 4^2 = 25\)

Vậy \(A(-1; 0)\) là điểm thuộc đường tròn.

Tiếp tuyến với \((C)\) tại A nhận \(\overrightarrow{IA}(-3; 4)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại A là:

\(-3(x + 1) + 4(y – 0) = 0 ⇔ 3x – 4y + 3 = 0\)

Câu c: Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\).

Phương pháp giải:

Gọi phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng: \(d: 4x + 3y + c = 0.\)

Khi đó ta có: \(R = d(I; d)\)

Từ đó ta tìm được ẩn c hay lập được phương trình đề bài yêu cầu.

Giải:

Đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}(3; -4) ⇒ \vec{u_d} = (4; 3)\) là có vectơ chỉ phương của d.

Tiếp tuyến d’ vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\) nên vectơ pháp tuyến \(\vec{n’} = \vec{u_d} = (4; 3)\)

Phương trình d’ có dạng là: \(4x + 3y + c = 0\)

d’ tiếp xúc \((C)\)

\(⇔ d(I, d’) = R ⇔ \frac{4.2 + 3.(-4) + c}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 5 ⇔ |c – 4| = 25\)

\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} c – 4 = 25\\c – 4 = -25 \end{matrix} ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}c = 29\\ c = -21 \end{matrix}\)

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

\(4x + 3y + 29 = 0 và 4x + 3y – 21 = 0\)

Câu a: Tìm tọa độ tâm và bán kính của \((C)\)

Phương trình: \(x^2 + y^2 – 4x + 8y – 5 = 0\) có các hệ số: \(a = 2; b = -4; c = -5\)

Tâm của (C) là \(I(2; -4)\) và bán kính \(R = 5\)

Câu b: Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) đi qua điểm \(A(-1; 0)\)

Ta có: \(A(-1; 0) ∈ (C)\) (Vì: \(1 + 4 – 5 = 0\)) nên phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm A là: \((-1 – 2)(x + 1) + (0 + 4)(y – 0) = 0 ⇔ 3x – 4y + 3 = 0\)

Câu c: Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\).

Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\) có phương trình là: \(4x + 3y + c = 0\)

d là tiếp tuyến của đường tròn (C) khi \(d(I; d) = R\)

\(⇔ \frac{|4.2 + 3.(-4) + c|}{\sqrt{16 + 9}} = 5\)

\(⇔ |-4 + c| = 25 ⇔ \left[ \matrix{ c – 4 = 25 \hfill \cr c – 4 = – 25 \hfill \cr} \right. ⇔ \left[ \matrix{ c = 29 \hfill \cr c = – 21 \hfill \cr} \right.\)

Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 6 Trang 84 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 2: Phương Trình Đường Tròn Thuộc Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.