Bài Tập 5 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12

Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12

Giải Bài Tập SGK: Bài 3 Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian

Bài Tập 5 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12

Tìm số giao điểm của đường thẳng \(\)\(d\) và mặt phẳng \((α)\) :

a. d: \(\begin{cases}x = 12 + 4t \\ y = 9 + 3t \\ z = 1 + t\end{cases}\) và (α) : 3x + 5y – z – 2 = 0

b. d: \(\begin{cases}x = 1 + t \\ y = 2 – t \\ z = 1 + 2t\end{cases}\) và (α) : x + 3y + z = 0

c. d: \(\begin{cases}x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 – 3t\end{cases}\) và (α) : x + y + z – 4 = 0

Lời Giải Bài Tập 5 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12

Phương pháp:

Lần lượt thay các biểu thức x, y, z theo tham số t từ phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (α), giải phương trình và tìm nghiệm t. Từ đó suy ra được số giao điểm của d và (α).

Câu a: Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của (d) vào phương trình (α) ta có:

\(3(12 + 4t) +5(9 + 3t) – (1 + t) = 0\)

\( ⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3\).

Tức là \(d ∩ (α) = M(0 ; 0 ; -2)\).

Trong trường hợp này \(d\) cắt \((α)\) tại điểm \(M\).

Câu b: Thay các tọa độ \(x ; y ; z\) trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có:

\((1 + t) + 3.(2 – t) + (1 + 2t) + 1 = 0\)

\(⇔ 0.t + 9 = 0\), phương trình vô nghiệm.

Chứng tỏ d và (α) không cắt nhau hay d // (α).

Câu c: Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có:

(1 + 1) + (1+ 2t) + (2 – 3t) – 4 = 0

⇔ 0t + 0 = 0

Phương trình này có vô số nghiệm, chứng tỏ d ⊂ (α).

Cách giải khác

Câu a: Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (4; 3; 1)\) và mp(α) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (3; 5; -1)\)
vậy \(\vec{a}.\vec{n} = 12 + 15 – 1 ≠ 0\), suy ra \(\vec{a}\) và \(\vec{n}\) không vuông góc nhau hay d cắt (α).

Câu b: Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; 1) và có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (1; -1; -2)\), mp(α) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (1; 3; 1)\)

Ta có: \(\vec{a}.\vec{n} = 1 – 3 + 2 = 0 ⇒ d // (α)\) hoặc d ⊂ (α) (1)

mặt khác: M ∈ d nhưng M ∉ (α) (2)

từ (1) và (2) suy ra d và (α) song song nhau.

Câu c: Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 2) và có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (1; 2; 3)\), mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (1; 1; 1)\)

Ta có: \(\vec{a}.\vec{n} = 1 + 2 – 2 = 0 ⇒ d // (α)\) hoặc d ⊂ (α) (3)

mặt khác: M ∈ d nhưng M ∈ (α) (4)

từ (3) và (4) suy ra d ⊂ (α)

Trên là phương pháp cũng như lời giải bài 5 trang 90 sgk hình học 12 trong bài 3 phương trình đường thẳng trong không gian. Hy vọng sẽ giúp ích cho các bạn.