Bài Tập 5 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10

Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 10

Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng

Bài Tập 5 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \(\)\(d_1\) và \(d_2\) sau đây:

a. \(d_1: 4x – 10y + 1 = 0\) và \(d_2: x + y + 2 = 0\)

b. \(d_1: 12x – 6y + 10 = 0\) và \(d_2: \begin{cases}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\end{cases}\)

c. \(d_1: 8x + 10y – 12 = 0\) và \(d_2: \begin{cases}x = -6 + 5t\\y = 6 – 4t\end{cases}\)

Lời Giải Bài Tập 5 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10

Câu a: \(d_1: 4x – 10y + 1 = 0\) và \(d_2: x + y + 2 = 0\)

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng: \(d_1: ax + by + c = 0, d_2: a’x + b’y + c’ = 0\). Khi đó:

– \(d_1 ∩ d_2: \frac{a}{a’} ≠ \frac{b}{b’}\)

– \(d_1 // d_2: \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} ≠ \frac{c}{c’}\)

– \(d_1 ≡ d_2: \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\)

Giải:

Xét hệ \(\begin{cases}4x – 10y + 1 = 0\\x + y + 2 = 0\end{cases}\)

Ta có: \(\frac{4}{1} ≠ \frac{-10}{1} ⇒ d_1 ∩ d_2\)

Vậy \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau.

Chú ý:

Có thể bấm máy tính giải hệ trên ra nghiệm \((x; y) = (-\frac{3}{2}; -\frac{1}{2})\) suy ra hai đường thẳng cắt nhau.

Khi giải hệ cần chuyển vế như sau rồi mới bấm máy: \(\begin{cases}4x – 10y = -1\\x + y = -2\end{cases}\)

Bấm MODE 5 1 rồi nhập lần lượt các hệ số:

4 -10  -1

1   1   -2

Sau đó sẽ ra nghiệm \((x; y) = (-\frac{3}{2}; -\frac{1}{2})\)

Câu b: \(d_1: 12x – 6y + 10 = 0\) và \(d_2: \begin{cases}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\end{cases}\)

Phương pháp giải:

Viết lại \(d_2\) về dạng tổng quát và nhận xét các bộ tỉ số.

Giải:

Viết \(d_2: \begin{cases}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\end{cases}\) dưới dạng tổng quát.

\(d_2: \begin{cases}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\end{cases}\)

\(⇒ \begin{cases}2x = 10 + 2t\\y = 3 + 2t\end{cases}\)

\(⇒ 2x – y = 7\)

\(⇔ 2x – y – 7 = 0.\)

Do đó \(d_2: 2x – y – 7 = 0.\)

Ta có: \(\frac{12}{2} = \frac{-6}{-1} ≠ \frac{10}{-7} ⇒ d_1 // d_2.\)

Vậy \(d_1 // d_2.\)

Cách khác:

Cách 1:

Giải hệ phương trình:

\(\begin{cases}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\\12x – 6y + 10 = 0\end{cases}\)

\(⇔ \begin{cases}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\\12(5 + t) – 6(3 + 2t) + 10 = 0\end{cases}\)

\(⇔ \begin{cases}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\\12t + 60 – 18 – 12t + 10 = 0\end{cases}\)

\(⇔ \begin{cases}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\\52 = 0 (VN)\end{cases}\)

Hệ trên vô nghiệm nên hai đường thẳng song song.

Cách 2:

\(d_1\) nhận \(\vec{n_1} = (12; -6)\) làm vectơ pháp tuyến.

\(d_2\) nhận \(\vec{u_2} = (1; 2)\) làm vectơ chỉ phương nên nhận \(\vec{n_2} = (2; -1)\) làm vectơ pháp tuyến.

Dễ thấy \(\vec{n_1} = 6\vec{n_2}\) nên \(d_1, d_2\) song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(M(5; 3) ∈ d_2\) thay vào \(d_1\) ta được.

\(12.5 – 6.3 + 10 = 52 ≠ 0\) nên \(M ∉ d_1\).

Vậy \(d_1 // d_2.\)

Câu c: \(d_1: 8x + 10y – 12 = 0\) và \(d_2: \begin{cases}x = -6 + 5t\\y = 6 – 4t\end{cases}\)

Phương pháp giải:

Viết \(d_2\) dưới dạng tổng quát và nhận xét các bộ số tỉ lệ.

Giải:

\(d_1: 8x + 10y – 12 = 0\)

Viết \(d_2: \begin{cases}x = -6 + 5t\\y = 6 – 4t\end{cases}\) dưới dạng tổng quát:

\(d_2: \begin{cases}x = -6 + 5t\\y = 6 – 4t\end{cases}\)

\(⇔ \begin{cases}4x = -24 + 20t\\5y = 30 – 20t\end{cases}\)

\(⇒ 4x + 5y = 6\)

\(⇔ 4x + 5y – 6 = 0\)

Do đó \(d_2: 4x + 5y – 6 = 0\)

Ta có: \(\frac{8}{4} = \frac{10}{5} = \frac{-12}{-6} (=2) ⇒ d_1 ≡ d_2\)

Vậy \(d_1\) trùng \(d_2\).

Cách khác:

Cách 1: xét hệ phương trình:

\(\begin{cases}8x + 10y – 12 = 0\\x = -6 + 5t\\y = 6 – 4t\end{cases}\)

\(⇔ \begin{cases}x = -6 + 5t\\y = 6 – 4t\\8(-6 + 5t) + 10(6 – 4t) – 12 = 0\end{cases}\)

\(⇔ \begin{cases}x = -6 + 5t\\y = 6 – 4t\\-48 + 40t + 60 – 40t – 12 = 0\end{cases}\)

\(⇔ \begin{cases}x = -6 + 5t\\y = 6 – 4t\\0 = 0 (đúng)\end{cases}\)

Do đó hệ có vô số nghiệm hay \(d_1\) trùng \(d_2\).

Cách 2:

\(d_1\) nhận \(\vec{n_1} = (8; 10)\) làm vectơ pháp tuyến.

\(d_2\) nhận \(\vec{u_2} = (5; -4)\) làm vectơ chỉ phương nên nhận \(\vec{n_2} = (4; 5)\) làm vectơ pháp tuyến.

Dễ nhất \(\vec{n_1} = 2\vec{n_2}\) nên \(d_1, d_2\) song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(M(-6; 6) ∈ d_2\), thay vào \(d_1\) được:

\(8.(-6) + 10.6 – 12 = 0\) nên \(M ∈ d_1\).

Vậy \(d_1 ≡ d_2\).

Câu a: \(d_1: 4x – 10y + 1 = 0\) và \(d_2: x + y + 2 = 0\)

Xét hệ:

\(\begin{cases}4x – 10y + 1 = 0\\x + y + 2 = 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}x = -\frac{3}{2}\\ y = -\frac{1}{2}\end{cases}\)

⇒ \(d_1\) cắt \(d_2\) tại điểm \((-\frac{3}{2}; -\frac{1}{2})\)

Câu b: \(d_1: 12x – 6y + 10 = 0\) và \(d_2: \begin{cases}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\end{cases}\)

Xét hệ:

\(\begin{cases}12x – 6y + 10 = 0\\ x = 5 + t\\ y = 3 + 2t\end{cases} ⇔ \begin{cases}12(5 + t) – 6(3 + 2t) +10 = 0\\ x = 5 + t\\ y = 3 + 2t \end{cases}\)

Vậy hệ vô nghiệm nên \(d_1\) song song với \(d_2\)

Câu c: \(d_1: 8x + 10y – 12 = 0\) và \(d_2: \begin{cases}x = -6 + 5t\\y = 6 – 4t\end{cases}\)

Xét hệ:

\(\begin{cases}8x + 10y – 12 = 0\\ x = -6 + 5t\\ y = 6 – 4t \end{cases} ⇔ \begin{cases}8(-6 + 5t) + 10(6 – 4t) -12 = 0\\ x = -6 + 5t\\ y = 6 – 4t \end{cases} ⇔ \begin{cases}∀t ∈ R\\ x = -6 + 5t \\ y = 6 – 4t \end{cases}\)

Ta có: \(x = -6 + 5t\) hệ có vô số nghiệm, nên \(d_1\) và \(d_2\) trùng nhau.

Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng Thuộc Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.