Bài Tập 4 Trang 53 SGK Hình Học Lớp 11

Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song – Hình Học Lớp 11

Bài 1: Đại Cương Về Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Bài Tập 4 Trang 53 SGK Hình Học Lớp 11

Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi \(\)\(G_A, G_B, G_C, G_D\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC. Chứng minh rằng \(AG_A, BG_B, CG_C, DG_D\) đồng quy.

Lời Giải Bài Tập 4 Trang 53 SGK Hình Học Lớp 11

Gọi N là trung điểm CD.

– \(G_A\) là trọng tâm ΔBCD

⇒ \(G_A\) thuộc trung tuyến BN ⊂ (ANB)

⇒ \(AG_A ⊂ (ANB)\)

\(G_B\) là trọng tâm ΔACD

⇒ \(G_B\) thuộc trung tuyến AN ⊂ (ANB)

⇒ \(BG_B ⊂ (ANB)\)

Trong (ANB): \(AG_A\) không song song với \(BG_B\)

⇒ \(AG_A\) cắt \(BG_B\) tại O

– Chứng minh tương tự: \(BG_B\) cắt \(CG_C; CG_C\) cắt \(AG_A\).

– \(CG_C\) không nằm trong \((ANB) ⇒ AG_A; BG_B; CG_C\) không đồng phẳng và đôi một cắt nhau.

Áp dụng kết quả bài 3 \(⇒ AG_A; BG_B; DG_D\) đồng quy tại O.

Vậy \(AG_A; BG_B; CG_C; DG_D\) đồng quy tại O (đpcm)

Ta gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của CD, BC, BD.

Khi đó:

\(G_A ∈ BM ⇒ AG_A ⊂ (ABM)\)

\(G_B ∈ BM ⇒ AG_B ⊂ (ABM)\)

⇒ \(AG_A\) cắt \(AG_B\)

Tương tự ta có: \(AG_A ⊂ (ACK); CG_C ⊂ (ACK)\)

Suy ra \(AG_A\) cắt \(CG_C\) và \(BG_B\) cắt \(CG_C\) (Vì khi đó \(BG_C, CG_B\) cắt nhau tại trung điểm AD).

Suy ra \(AG_A\), \(AG_B\), \(CG_C\) đồng quy (bài tập 3)

Tương tự ta có: \(BG_B, CG_C, DG_D\) đồng quy \(⇒ AG_A, BG_B, CG_C, DG_D\) đồng quy.

Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 53 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 1: Đại Cương Về Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.