Bài Tập 4: Trang 18 SGK Hình Học Lớp 12

Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12

Giải Bài Tập SGK: Bài 2 Khối Đa Diện Lồi Và Khối Đa Diện Đều

Bài Tập 4: Trang 18 SGK Hình Học Lớp 12

Chứng minh rằng:

a. Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b. ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông.

Lời Giải Bài Tập 4 Trang 18 SGK Hình Học 12

Câu a:

Do B, C, D, E cách đều A và F nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của AF).

Tương tự, A, B, F, D đồng phẳng và A, C, F, E đồng phẳng

Gọi I là giao của (AF) với (BCDE). Khi đó B, I, D là những điểm chung của hai mặt phẳng (BCDE) và (ABFD) nên chúng thẳng hàng. Tương tự, E, I , C thẳng hàng.

Vậy AF, BD, CE đồng quy tại I.

Vì BCDE là hình thoi nên BD vuông góc với BC và cắt BC tại I là trung điểm của mỗi đường. I là trung điểm của AF và AF vuông góc với BD và EC, do đó các đoạn thẳng AF, BD, và CE đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.

Câu b:

Do AI vuông góc (BCDE) và AB = AC =AD = AE nên IB = IC= ID = IE. Từ đó suy ra hình thoi BCDE là hình vuông. Tương tự, ABFD, AEFC là những hình vuông.

Cách giải khác

Câu a: Ta có: B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF (1)

– Trong mp(BCDE), ta có BC = CD = DE = EB

Suy ra tứ giác BCDE là hình thoi hoặc hình vuông (2)

– Mặt khác AB = AC = AD = AE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BCDE là hình vuông.

Vậy BD và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Chứng minh như trên ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Câu b: Ta có: BCDE là hình vuông (chứng minh trên).

Tương tự, ABFD và AEFC cũng là những hình vuông.

Lời giải bài tập 4 trang 18 sgk hình học lớp 12 trong phần bài 2 khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Chúc các bạn học sinh có bài học và bài tập tốt nhất.