Bài Tập 4 Trang 105 SGK Hình Học Lớp 11

Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11

Bài 3: Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng

Bài Tập 4 Trang 105 SGK Hình Học Lớp 11

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đối mặt vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a. H là trực tâm của tam giác ABC

b. \(\)\(\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}\)

Lời Giải Bài Tập 4 Trang 105 SGK Hình Học Lớp 11

Câu a: H là trực tâm của tam giác ABC.

H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) nên OH ⊥ (ABC) ⇒ OH ⊥ BC.

Mặt khác: OA ⊥ OB, OA ⊥ OC

⇒ OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ BC

\(\begin{cases}BC ⊥ OH\\BC ⊥ OA\\ OA ∩ OH = O\end{cases} ⇒ BC ⊥ (OAH)\)

Mà AH ⊂ (OAH) ⇒ BC ⊥ AH (1)

Ta có: \(\begin{cases}OB ⊥ OA\\OB ⊥ OC\end{cases} ⇒ OB ⊥ (OAC)\)

Mà AC ⊂ (OAC) ⇒ OB ⊥ AC

OH ⊥ (ABC) ⇒ OH ⊥ AC

Do đó \(\begin{cases}OB ⊥ AC\\OH ⊥ AC\end{cases} ⇒ AC ⊥ (OBH) ⇒ AC ⊥ BH\) (2)

Từ (1) và (2) ta có tam giác ABC có:

\(\begin{cases}AH ⊥ BC\\BH ⊥ AC\\AH ∩ BH = H\end{cases}\)

⇒ H là trực tâm của tam giác ABC.

Câu b: \(\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}\)

Trong mặt phẳng (ABC) gọi E = AH ∩ BC

\(\begin{cases}OH ⊥ (ABC)\\AE ⊂ (ABC)\end{cases} ⇒ OH ⊥ AE\)

Ta có: \(\begin{cases}OA ⊥ (OBC)\\OE ⊂ (OBC)\end{cases} ⇒ OA ⊥ OE ⇒ ΔOAE\) vuông tại O có đường cao OH.

\(⇒ \frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OE^2}\) (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông OAE)

Lại có: \(\begin{cases}BC ⊥ (OAH)\\OE ⊂ (OAH)\end{cases} ⇒ BC ⊥ OE\)

Mà OB ⊥ OC nên ΔOBC vuông tại O có OE là đường cao.

\(⇒ \frac{1}{OE^2} = \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}\)

Vậy \(\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OE^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}\) (đpcm)

Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của công thức tính đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông: \(\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\).

Câu a: H là trực tâm của tam giác ABC

Ta có thể dễ thấy AH là hình chiếu ⊥ c của AO trên mặt phẳng (ABC), vì:

\(\begin{cases}OA ⊥ OB\\OA ⊥ OC\end{cases} ⇒ OA ⊥ (OBC)\)

⇒ OA ⊥ BC’

Theo như định lý ba đường vuông góc học được ta suy ra AH ⊥ BC

Tương tự như vậy ta cũng có CH ⊥ AB

Suy ra được H là trực tâm của tam giác ABC (đpcm)

Câu b: \(\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}\)

Ta có thể gọi I là giao điểm của AH và BC.

⇒ BC ⊥ AI

Mặt khác ta có OA ⊥ BC suy ra BC ⊥ (OAI) ⇒ BC ⊥ OI

Trong tam giác vuông OAI có đường cao \(OH ⇒ \frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OI^2}\)

Trong tam giác vuông OBC có đường cao \(OI ⇒ \frac{1}{OI^2} = \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}\)

\(\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}.\) (đpcm)

Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 105 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 3: Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng Thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.