Bài Tập 3 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10

Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 10

Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng

Bài Tập 3 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10

Cho tam giác \(\)\(ABC\), biết \(A(1; 4), B(3; -1)\) và \(C(6; 2)\)

a. Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng \(AB, BC\) và \(CA\).

b. Lập phương trình tổng quát của đường cao \(AH\) và trung tuyến \(AM\).

Lời Giải Bài Tập 3 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10

Câu a: Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng \(AB, BC\) và \(CA\).

Phương pháp giải:

Cách lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A, B\).

– Tìm tọa độ \(\overrightarrow{AB}\) từ đó suy ra vectơ pháp tuyến của \(AB\).

– Lập phương trình tổng quát: \(a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0\)

Giải:

– Phương trình \(AB\).

Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (2; -5)\)

Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow{AB} = (2; -5)\) làm vectơ chỉ phương nên nhận \(\vec{n_1} = (5; 2)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mà AB đi qua \(A(1; 4)\) nên phương trình tổng quát: \(5(x – 1) + 2(y – 4) = 0\) hay \(5x + 2y – 13 = 0\).

– Phương trình \(AC\).

Ta có: \(\overrightarrow{AC} = (5; -2)\)

Đường thẳng \(AC\) nhận \(\overrightarrow{AC} = (5; -2)\) làm vectơ chỉ phương nên nhận \(n_2 = (2; 5)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mà AC đi qua \(A(1; 4)\) nên phương trình tổng quát: \(2(x – 1) + 5(y – 4) = 0\) hay \(2x + 5y – 22 = 0\).

– Phương trình \(BC\).

Ta có: \(\overrightarrow{BC} = (3; 3)\)

Đường thẳng BC nhận \(\overrightarrow{BC} = (3; 3) = 3(1; 1)\) làm vectơ chỉ phương nên nhận \(\vec{n_3} = (1; -1)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mà \(BC\) đi qua \(B(3; -1)\) nên phương trình tổng quát: \(1(x – 3) – 1(y + 1) = 0\) hay \(x – y – 4 = 0\).

Cách khác:

Phương trình đường thẳng \(AB: \frac{x – 1}{3 – 1} = \frac{y – 4}{-1 – 4}\)

\(⇔ \frac{x – 1}{2} = \frac{y – 4}{-5} ⇔ 5x + 2y – 13 = 0\)

Tương tự ta có:

– Phương trình đường thẳng \(BC: x – y – 4 = 0\)

– Phương trình đường thẳng \(CA: 2x + 5y – 22 = 0\)

Câu b: Lập phương trình tổng quát của đường cao \(AH\) và trung tuyến \(AM\).

Phương pháp giải:

– Đường cao \(AH\) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với \(BC\) hay nhận vectơ chỉ phương của \(BC\) là vectơ pháp tuyến.

– Đường trung tuyến \(AM\) là đường thẳng đi qua A và trung điểm M của \(BC\).

Giải:

Đường cao \(AH\) là đường thẳng đi qua \(A(1; 4)\) và vuông góc với \(BC\).

\(\overrightarrow{BC} = (3; 3)\)

\(AH ⊥ BC\) nên \(AH\) nhận vectơ \(\vec{n} = (3; 3)\) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

\(AH: 3(x – 1) + 3(y – 4) = 0\)

\(⇔ 3x + 3y – 15 = 0\)

\(⇔ x + y – 5 = 0\)

Gọi M là trung điểm \(BC\) ta có:

\(\begin{cases}x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{3 + 6}{2} = \frac{9}{2}\\y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{-1 + 2}{2} = \frac{1}{2}\end{cases}\)

Do đó \(M(\frac{9}{2}; \frac{1}{2})\)

\(⇒ \overrightarrow{AM} = (\frac{7}{2}; -\frac{7}{2}) = \frac{7}{2}(1; -1)\)

Trung tuyến \(AM\) là đường thẳng đi qua điểm \(A(1; 4)\) và nhận \(\vec{u_4} = \frac{2}{7}\overrightarrow{AM} = (1; -1)\) làm vectơ chỉ phương nên nhận \(\vec{n_4} = (1; 1)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát: \(1(x – 1) + 1(y – 4) = 0\) hay \(x + y – 5 = 0\).

Câu a: Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng \(AB, BC\) và \(CA\).

Ta có: \(\vec{AB} = (2; -5) ⊥ \vec{n} = (5; 2)\), phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB: 5x + 2y – 13 = 0\)

Ta có: \(\vec{BC} = (3; 3) ⊥ \vec{n} = (1; -1)\), phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC: x – y – 4 = 0\)

Ta có: \(\vec{AC} = (5; -2) ⊥ \vec{n} = (2; 5)\), phương trình tổng quát của đường thẳng \(AC: 2x + 5y – 22 = 0\)

Câu b: Lập phương trình tổng quát của đường cao \(AH\) và trung tuyến \(AM\).

\(AH ⊥ BC\), nên đường cao \(AH\) đi qua điểm A và nhận \(\vec{BC} = (3; 3)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát: \(x + y – 5 = 0\)

Gọi M là trung điểm BC thì M \((\frac{9}{2}; \frac{1}{2})\) và \(\vec{AM} = (\frac{7}{2}; -\frac{7}{2}) ⊥ \vec{n} = (1; 1)\)

Phương trình tổng quát của trung tuyến \(AM: x + y – 5 = 0\)

Vậy tam giác ABC làm tam giác cân đỉnh A

Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng Thuộc Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.