Bài Tập 3 Trang 113 SGK Hình Học Lớp 11

Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11

Bài 4: Hai Mặt Phẳng Vuông Góc

Bài Tập 3 Trang 113 SGK Hình Học Lớp 11

Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với (α) tại A. Chứng minh rằng:

a. \(\)\(\widehat{ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)

b. Mặt phẳng (ABD) vuông hóc với mặt phẳng (BCD)

c. HK // BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với DB.

Lời Giải Bài Tập 3 Trang 113 SGK Hình Học Lớp 11

Câu a: \(\widehat{ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)

Tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC (1)

AD vuông góc với (α) nên AD ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (ABD) suy ra BC ⊥ BD

\(\begin{cases}(ABC) ∩ (DBC) = BC\\BD ⊥ BC\\AB ⊥ BC\end{cases}\)

⇒ góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng BD và BA

Mà \(DA ⊥ (ABC) ⇒ DA ⊥ AB ⇒ \widehat{ABD} < 90^0\)

Vậy \(\widehat{ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)

Câu b: Mặt phẳng (ABD) vuông hóc với mặt phẳng (BCD)

\(\begin{cases}BC ⊥ (ABD)\\BC ⊂ (BCD)\end{cases} ⇒ (ABD) ⊥ (BCD)\)

Câu c: HK // BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với DB.

Do (P) đi qua A, H, K nên mặt phẳng (P) ≡ (AHK) đi qua A và vuông góc với DB nên HK ⊥ BD.

Trong (BCD) có: HK ⊥ BD và BC ⊥ BD nên suy ra HK // BC.

Chú ý:

Từ chứng minh trên ta có thể suy ra cách dựng (P) như sau:

Trong (DAB), qua A kẻ đường thẳng vuông góc với DB cắt DB tại H.

Trong (DBC), kẻ đường thẳng qua H và vuông góc với DB cắt DC tại K.

Từ đó ta có (P) chính là (AHK).

Câu a: \(\widehat{ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB ⊥ BC\) (1)

\(AD\) vuông góc với (α) nên \(AD ⊥ BC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (ABD)\) suy ra \(BC ⊥ BD\)

\(\begin{cases}(ABC) ∩ (DBC) = BC\\BD ⊥ BC\\AB ⊥ BC\end{cases}\) ⇒ góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) là góc \(\widehat{ABD}\)

Câu b: Mặt phẳng (ABD) vuông hóc với mặt phẳng (BCD)

\(BC ⊥ (ABD)BC ⊂ (BCD) ⇒ (ABD) ⊥ (BCD)\)

Câu c: HK // BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với DB.

Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với DB nên \(HK ⊥ BC\)

Trong (BCD) có: \(HK ⊥ BC\) và \(BC ⊥ BD\) nên suy ra \(HK  // BC\).

Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 113 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 4: Hai Mặt Phẳng Vuông Góc Thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.