Bài Tập 3 Trang 104 SGK Hình Học Lớp 11

Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11

Bài 3: Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng

Bài Tập 3 Trang 104 SGK Hình Học Lớp 11

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có SA = SB = SC = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:

a. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

b. Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Lời Giải Bài Tập 3 Trang 104 SGK Hình Học Lớp 11

Sử dụng kết quả của định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Câu a: Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

SA = SC nên tam giác SAC cân tại S.

O là giao của hai đường chéo hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD.

Do đó SO vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao tam giác SAC hay SO ⊥ AC.

Chứng minh tương tự ta được: SO ⊥ BD

Ta có: \(\)\(\begin{cases}SO ⊥ AC\\SO ⊥ BD\\AC ∩ BD = O\\ AC, BD ⊂ (ABCD)\end{cases} ⇒ SO ⊥ (ABCD)\)

Câu b: Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).

ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD.

\(\begin{cases}AC ⊥ BD\\AC ⊥ SO\\SO ∩ BD = O\\SO, BD ⊂ (SBD)\end{cases} ⇒ AC ⊥ (SBD)\)

\(\begin{cases}BD ⊥ AC\\BD ⊥ SO\\SO ∩ AC = O\\ SO, AC ⊂ (SAC)\end{cases} ⇒ BD ⊥ (SAC)\)

Câu a: Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

Vì SA = SC suy ra tam giác SAC cân đỉnh S, mặt khác ta có O là trung điểm của AC

⇒ SO ⊥ AC

Tương tự SO ⊥ BD

Suy ra SO ⊥ (ABCD) (đpcm)

Câu b: Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).

* Ta có SO ⊥ AC và BD ⊥ AC (hai đường chéo của hình thoi)

⇒ AC ⊥ (ABD)

+ AC ⊥ BD (đường chéo hình thoi)

+ AC ⊥ SO

+ BD cắt SO trong (SBD)

* Ta có:

+ BD ⊥ AC

+ BD ⊥ SO

+ AC cắt SO trong (SAC)

⇒ BD ⊥ (SAC)

Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 104 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 3: Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng Thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.