Bài Tập 11 Trang 114 SGK Hình Học Lớp 11

Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11

Bài 4: Hai Mặt Phẳng Vuông Góc

Bài Tập 11 Trang 114 SGK Hình Học Lớp 11

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a và có góc A bằng \(\)\(60^0\), cạnh \(SC = \frac{a\sqrt{6}}{2}\) và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a. Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC).

b. Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K. Hãy tính độ dài IK.

c. Chứng minh \(\widehat{BKD} = 90^0\) và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD).

Lời Giải Bài Tập 11 Trang 114 SGK Hình Học Lớp 11

Câu a: Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC).

SC ⊥ (ABCD) ⇒ SC ⊥ BD (1)

ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD ⊥ (SAC)

Mà BD ⊂ (SBD) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC)

Câu b: Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K. Hãy tính độ dài IK.

Xét tam giác ABD có AB = AD và góc \(A = 60^0\) nên là tam giác đều.

Do đó \(AI = \frac{a\sqrt{3}}{2} ⇒ AC = 2AI = a\sqrt{3}\)

SC ⊥ (ABCD) ⇒ SC ⊥ CA nên tam giác SAC vuông tại C.

Xét tam giác vuông SAC có: \(SA = \sqrt{AC^2 + SC^2} = \sqrt{3a^2 + \frac{6a^2}{4}} = \frac{3a}{\sqrt{2}}\)

Xét ΔSCA và ΔIKA có:

\(\begin{cases}A \, \, chung\\\widehat{SCA} = \widehat{IKA} = 90^0\end{cases}\)

⇒ ΔSCA ∽ ΔIKA (g.g)

\(⇒ \frac{IK}{SC} = \frac{AI}{AS} ⇒ IK = \frac{AI.SC}{AS} = \frac{a}{2}\)

Câu c: Chứng minh \(\widehat{BKD} = 90^0\) và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD).

Dễ thấy ΔABD đều nên \(BD = a ⇒ IK = \frac{1}{2}BD\) nên ΔBKD vuông tại K.

Vậy \(\widehat{BKD} = 90^0\)

Ta có: BD ⊥ (SAC) (cmt) ⇒ BD ⊥ SA

\(\begin{cases}BD ⊥ SA\\IK ⊥ SA\end{cases} ⇒ SA ⊥ (BKD) ⇒ \begin{cases}SA ⊥ BK\\SA ⊥ DK\end{cases}\)

Ta có:

\(\begin{cases}(SAB) ∩ (SAD) = SA\\(SAB) ⊃ BK ⊥ SA\\(SAD) ⊃ DK ⊥ SA\end{cases}\)

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng góc giữa hai đường thẳng BK và DK là góc \(\widehat{BKD} = 90^0\). (đpcm)

Câu a: Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Vì ABCD là hình thoi suy ra được AC ⊥ BD (1)

Theo giả thiết ta có SC ⊥ (ABCD)

⇒ SC ⊥ BD (2)

Từ (1) và (2) BD ⊥ (SAC)

Mà BD ⊂ (SBD) suy ra (SAC) ⊥ (SBD) (đpcm)

Câu b: Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K. Hãy tính độ dài IK.

Vì ABCD la hình thoi cạnh a và \(\widehat{A} = 60^0\)

\(⇒ \widehat{C} = 60^0; \widehat{B} = \widehat{D} = 120^0\)

\(⇒ AC^2 = BC^2 + BA^2 – 2BC.BA.cos120^0\)

\(= 2a^2 + a^2 = 3a^2\)

\(⇒ AC = a\sqrt{3}\)

Trong tam giác vuông CSA có:

\(SA^2 = SC^2 + CA^2 = \frac{6a^2}{4} + 3a^2 = \frac{18a^2}{4}\)

\(⇒ SA = \frac{3a\sqrt{2}}{2}\)

Vì ΔAIK ∼ ΔASC (g.g)

\(⇒ \frac{AI}{AS} = \frac{IK}{SC} ⇒ IK = \frac{AI.SC}{AS} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{2}}{\frac{3a\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{2}\)

Vậy \(IK = \frac{a}{2}\)

Câu c: Chứng minh \(\widehat{BKD} = 90^0\) và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD).

Vì \(\widehat{A} = 60^0\) và \(AB = AD = a ⇒ ΔABD \ đều \ ⇒ BD = a\)

Tam giác KBD có \(KI = IB = ID = \frac{a}{2} ⇒ ΔKBD\) vuông tại K hay \(\widehat{BKD} = 60^0.\)

Nhận xét BD ⊥ (SAC) mà SA ⊂ (SAC) ⇒ BD ⊥ (SA)

Hơn nữa IK ⊥ SA suy ra SA ⊥ (KBD)

Mà SA là giao tuyến của (SAB) và (SAD) suy ra góc BKD chính là góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng (SAD)

Vậy (SAB) ⊥ (SAD) (đpcm).

Lời giải bài tập yêu cầu giải các câu hỏi trong bài tập. Trên là lời giải gợi ý bài tập 11 trang 114 sgk hình học 11 chương 3 bài 4.