Mục Lục Bài Viết
Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích 12
Giải Bài Tập SGK: Bài 2 Tích Phân
Bài Tập 1: Trang 112 SGK Giải Tích Lớp 12
a. \(\)\(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\)
b. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\)
c. \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x(x+1)}dx\)
d. \(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\)
e. \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\)
g. \(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\)
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 112 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\) = \(-\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}(1-x)^{\frac{2}{3}}d(1-x)=-\frac{3}{5}(1-x)^{\frac{5}{3}}|_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\)
= \(-\frac{3}{5}\left [ \frac{1}{2\sqrt[3]{4}}-\frac{3\sqrt[3]{9}}{2\sqrt[3]{4}} \right ]=\frac{3}{10\sqrt[3]{4}}(3\sqrt[3]{9}-1)\)
Câu b: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\)=\(-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)d(\frac{\pi}{4}-x)\) = \(cos(\frac{\pi}{4}-x)|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
= \(cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2})-cos\frac{\pi}{4}=0\)
Câu c: \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x(x+1)}dx\)=\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})dx =ln\left | \frac{x}{x+1} \right ||_{\frac{1}{2}}^{2}=ln2\)
Câu d: \(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\)= \(\int_{0}^{2}(x^{3}+2x^{2}+x)dx=(\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+\frac{x^{2}}{2})|_{0}^{2}\)
= \(\frac{16}{4}+\frac{16}{3}+2= 11\tfrac{1}{3}\)
Câu e: \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\)= \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{-3(x+1)+4}{(x+1)^{2}}dx=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\left [ \frac{-3}{x+1}+\frac{4}{(x+1)^{2}} \right ]dx\)
= \(\left ( -3.ln\left | x+1 \right |-\frac{4}{x+1} \right )|_{\frac{1}{2}}^{2}= \frac{4}{3}-3ln2\)
Câu g: Ta có \(f(x) = sin3xcos5x\) là hàm số lẻ.
Vì \(f(-x) = sin(-3x)cos(-5x)\)
\(= -sin3xcos5x = -f(x)\)
nên:
\(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5x =0\)
Chú ý: Có thể tính trực tiếp bằng cách đặt x = -t hoặc biến đổi thành tổng.
Cách giải khác
Câu a: Đặt \(1 – x = u; du = -dx; x = -\frac{1}{2} ⇒ u = \frac{3}{2}\)
\(x = \frac{1}{2} ⇒ u = \frac{1}{2}\)
\(\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{(1 – x)^2}dx\)
\(= -\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}}u^{\frac{2}{3}}du\)
\(= \frac{u^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1}|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\)
\(= \frac{3}{5}u^{\frac{5}{3}}|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\)
\(= \frac{3}{5}[\sqrt[3]{(\frac{3}{2})^5} – \sqrt[3]{(\frac{1}{2^5})}]\)
\(= \frac{3}{10}\frac{(3\sqrt[3]{9} – 1)}{\sqrt[3]{4}}\)
Câu b: Đặt \(u(x) = \frac{π}{4} – x; du(x) = -dx\)
\(x = 0 ⇒ \frac{π}{4}; x = \frac{π}{2} ⇒ u = -\frac{π}{4}\)
\(\int_{0}^{\frac{π}{2}}sin(\frac{π}{4} – x)dx\)
\(= -\int_{\frac{π}{4}}^{-\frac{π}{4}}sinudu = cosu|_{\frac{π}{4}}^{-\frac{π}{4}}\)
\(= cos(-\frac{π}{4}) – cos(\frac{π}{4}) = 0\)
Câu c: \(\int_{0}^{2}x(x + 1)^2dx = \int_{0}^{2}(x^3 + 2x^2 + x)dx\)
\(= \frac{x^4}{4} + \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2|_{0}^{2}\)
\(= \frac{16}{4} + \frac{16}{3} + \frac{4}{2} = \frac{34}{3}\)
Câu e: \(\int_{1}^{2}\frac{1 – 3x}{(x + 1)^2}dx = \int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{4 – 3(x + 1)}{(x + 1)^2}dx\)
\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{4}{(x + 1)^2dx} – \int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{3}{x + 1}dx\)
\(= (-\frac{4}{x + 1} – 3ln|x + 1|)|_{\frac{1}{2}}^{2}\)
\(= -\frac{4}{3} – 3ln3 + \frac{8}{3} + 3ln(\frac{3}{2}) = \frac{4}{3} – 3ln2\)
Câu f: \(\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}sin3xcos5xdx = \frac{1}{2}\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}(sin8x – sin2x)dx\)
\(= (-\frac{1}{16}cos8x + \frac{1}{4}cos2x)|_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\)
\(= -\frac{1}{16}cos4π + \frac{1}{4}cosπ + \frac{1}{16}cos(-4π) – \frac{1}{4}cos(-π) = 0\)
Màn thi khởi động khá là căng khi ngay từ bài tập 1 trang 112 sgk giải tích lớp 12 đã phải trải qua 6 câu khá mệt mỏi, nhưng không sao đã có lời giải ở trên cho các bạn tham khảo rồi nhé.
Trả lời