Mục Lục Bài Viết
Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Tích Phân
Bài Tập 1 Trang 112 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính các tích phân sau:
a. \(\)\(\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{(1 – x)^2}dx\)
b. \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin(\frac{π}{4} – x)dx\)
c. \(\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{1}{x(x +1)}dx\)
d. \(\int_0^2x(x + 1)^2dx\)
e. \(\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{1 – 3x}{(x + 1)^2}dx\)
g. \(\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}sin3xcos5xdx\)
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 112 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{(1 – x)^2}dx\)
Phương pháp giải: Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng \(\int (ax + b)^ndx = \frac{1}{a} \frac{(ax + b)^{n + 1}}{n + 1} + C\)
Giải: \(\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{(1 – x)^2}dx = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (1 – x)^{\frac{2}{3}}dx\)
\(= \frac{1}{-1}.\frac{(1 – x)^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1}\Bigg|_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\)
\(= -1.\frac{(1 – x)^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}\Bigg|_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\)
\(= -\frac{3}{5}(1 – x)^{\frac{5}{3}}\Bigg|_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\)
\(= -\frac{3}{5}.[(\frac{1}{2})^{\frac{5}{3}} – (\frac{3}{2})^{\frac{5}{3}}]\)
\(= -\frac{3}{5}[\frac{1}{\sqrt[3]{2^5}} – \frac{\sqrt[3]{3^5}}{\sqrt[3]{2^5}}]\)
\(= -\frac{3}{5}[\frac{1}{\sqrt[3]{2^3.2^2}} – \frac{\sqrt[3]{3^3.3^2}}{\sqrt[3]{2^3.2^2}}]\)
\(= -\frac{3}{5}[\frac{1}{2\sqrt[3]{4}} – \frac{3\sqrt[3]{9}}{2\sqrt[3]{4}}]\)
\(= \frac{3}{10\sqrt[3]{4}}(3\sqrt[3]{9} – 1)\)
Câu b: \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin(\frac{π}{4} – x)dx\)
Phương pháp giải: Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng:
\(\int sin(ax + b)dx = -\frac{1}{a}cos(ax + b) + C\)
Giải: \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin(\frac{π}{4} – x)dx\)
\(= -\frac{1}{-1}cos(\frac{π}{4} – x)\Bigg|_0^{\frac{π}{2}}\)
\(= cos(\frac{π}{4} – x)\Bigg|_0^{\frac{π}{2}}\)
\(= cos(-\frac{π}{4}) – cos\frac{π}{4} = 0\)
Câu c: \(\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{1}{x(x +1)}dx\)
Phương pháp giải:
Sử dụng phân tích: \(\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} – \frac{1}{x + 1}\) sau đó sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng:
\(\int \frac{1}{ax + b}dx = \frac{1}{2}.ln|ax + b| + C.\)
Giải: Ta có: \(\frac{1}{x(x + 1)}\)
\(= \frac{x + 1 – x}{x(x + 1)} = \frac{x + 1}{x(x + 1)} – \frac{x}{x(x + 1)}\)
\(= \frac{1}{x} – \frac{1}{x + 1}\)
\(⇒ \int_{\frac{1}{2}}^2\frac{1}{x(x + 1)}dx = \int_{\frac{1}{2}}^2(\frac{1}{x} – \frac{1}{x + 1})dx\)
\(= (ln|x| – ln|x + 1|)\Bigg|_{\frac{1}{2}}^2 = ln|\frac{x}{x + 1}|\Bigg|_{\frac{1}{2}}^2\)
\(= ln\frac{2}{3} – ln\frac{1}{3} = ln(\frac{2}{3}:\frac{1}{3}) = ln2\)
Câu d: \(\int_0^2x(x + 1)^2dx\)
Phương pháp giải: Nhân đa thức và áp dụng công thức nguyên hàm: \(\int x^ndx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C.\)
Giải: \(x(x + 1)^2 = x(x^2 + 2x + 1)\)
\(= x^3 + 2x^2 + x\)
\(⇒ \int_0^2x(x + 1)^2dx\)
\(= \int_0^2(x^3 + 2x^2 + x)dx\)
\(= (\frac{x^4}{4} + 2\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2})\Bigg|_0^2\)
\(= (\frac{2^4}{4} + 2.\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2}) – 0\)
\(= \frac{34}{3}\)
Câu e: \(\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{1 – 3x}{(x + 1)^2}dx\)
Phương pháp giải: Phân tích đa thức trong tích phân dưới dạng: \(\frac{1 – 3x}{(x + 1)^2} = \frac{A}{x +1} + \frac{B}{(x + 1)^2}\) và sử dụng các công thức nguyên hàm:
\(\int \frac{dx}{ax + b} = \frac{1}{a}ln|ax + b| + C\)
\(\int \frac{dx}{(ax + b)^2} = \frac{1}{a} \frac{-1}{ax + B} + C\)
Giải: \(\frac{1 – 3x}{(x + 1)^2} = \frac{-3x – 3 + 4}{(x + 1)^2}\)
\(= \frac{-3(x + 1) + 4}{(x + 1)^2} = -\frac{3}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1)^2}\)
\(⇒ \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1 – 3x}{(x + 1)^2}dx\)
\(= \int_{\frac{1}{2}}^2(-\frac{3}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1)^2})dx\)
\(= -3\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{dx}{x + 1} + 4\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{dx}{(x + 1)^2}\)
\(= -3ln|x + 1|\Bigg|_{\frac{1}{2}}^2 – \frac{4}{x + 1}\Bigg|_{\frac{1}{2}}^2\)
\(= -3(ln3 – ln\frac{3}{2}) – 4(\frac{1}{3} – \frac{2}{3})\)
\(= -3ln2 + \frac{4}{3}\)
Câu g: \(\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}sin3xcos5xdx\)
Phương pháp giải:
Cách 1: Chứng minh hàm số \(f(x) = sin3xcos5x\) là hàm số lẻ và áp dụng công thức \(\int_{-a}^af(x)dx = 0\) (Với f(x) là hàm số lẻ, a ∈ R.
Cách 2: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Giải:
Cách 1: Đặt \(f(x) = sin3xcos5x\) ta có:
\(f(-x) = sin(-3x)cos(-5x) = -sin3xcos5x = -f(x)\)
⇒ hàm số đã cho là hàm số lẻ, từ đó ta có:
\(\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}sin3xcos5xdx = 0\)
Cách 2: \(sin3xcos5x\)
\(= \frac{1}{2}[sin(3x + 5x) + sin(3x – 5x)]\)
\(= \frac{1}{2}(sin8x + sin(-2x))\)
\(= \frac{1}{2}(sin8x – sin2x)\)
\(⇒ \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}sin3xcos5xdx\)
\(= \frac{1}{2}\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}(sin8x – sin2x)dx\)
\(= \frac{1}{2}(-\frac{cos8x}{8} + \frac{cos2x}{2})\Bigg|_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\)
\(= \frac{1}{2}(-\frac{5}{8} – (-\frac{5}{8})) = 0\)
Câu a: \(\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{(1 – x)^2}dx\)
\(= -\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}(1 – x)^{\frac{2}{3}}d(1 – x)\)
\(= -\frac{3}{5}(1 – x)^{\frac{5}{3}}\Bigg|_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\)
\(= -\frac{3}{5}[\frac{1}{2\sqrt[3]{4}} – \frac{3\sqrt[3]{9}}{2\sqrt[3]{4}}]\)
\(= \frac{3}{10\sqrt[3]{4}}(3\sqrt[3]{9} – 1)\)
Câu b: \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin(\frac{π}{4} – x)dx\)
\(= -\int_0^{\frac{π}{2}}sin(\frac{π}{4} – x)d(\frac{π}{4} – x)\)
\(= cos(\frac{π}{4} – x)\Bigg|_0^{\frac{π}{2}}\)
\(= cos(\frac{π}{4} – \frac{π}{2}) – cos\frac{π}{4} = 0\)
Câu c: \(\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{1}{x(x +1)}dx\)
\(= \int_{\frac{1}{2}}^2(\frac{1}{x} – \frac{1}{x + 1})dx\)
\(= ln|\frac{x}{x + 1}|\Bigg|_{\frac{1}{2}}^2 = ln2\)
Câu d: \(\int_0^2x(x + 1)^2dx\)
\(= \int_0^2(x^3 + 2x^2 + x)dx\)
\(= frac{x^4}{4} + \frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2})\Bigg|_0^2\)
\(= \frac{16}{4} + \frac{16}{3} + 2 = 11\tfrac{1}{3}\)
Câu e: \(\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{1 – 3x}{(x + 1)^2}dx\)
\(= \int_{\frac{1}{2}}^2\frac{-3(x + 1) + 4}{(x + 1)^2}dx\)
\(= \int_{\frac{1}{2}}^2[\frac{-3}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1)^{2}}]dx\)
\(= (-3.ln|x + 1| – \frac{4}{x + 1})\Bigg|_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{4}{3} – 3ln2\)
Câu g: \(\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}sin3xcos5xdx\)
Ta có \(f(x) = sin3xcos5x\) là hàm số lẻ.
Vì \(f(-x) = sin(-3x)cos(-5x)\)
\(= -sin3xcos5x = -f(x)\)
nên:
\(\int_{\frac{-π}{2}}^{\frac{π}{2}}sin3xcos5x = 0\)
Chú ý: Có thể tính trực tiếp bằng cách đặt x = -t hoặc biến đổi thành tổng.
Câu a: \(\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{(1 – x)^2}dx\)
Đặt \(1 – x = u; du = -dx; x = -\frac{1}{2} ⇒ u = \frac{3}{2}\)
\(x = \frac{1}{2} ⇒ u = \frac{1}{2}\)
\(\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{(1 – x)^2}dx\)
\(= -\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}}u^{\frac{2}{3}}du\)
\(= \frac{u^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1}|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\)
\(= \frac{3}{5}u^{\frac{5}{3}}|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\)
\(= \frac{3}{5}[\sqrt[3]{(\frac{3}{2})^5} – \sqrt[3]{(\frac{1}{2^5})}]\)
\(= \frac{3}{10}\frac{(3\sqrt[3]{9} – 1)}{\sqrt[3]{4}}\)
Câu b: \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin(\frac{π}{4} – x)dx\)
Đặt \(u(x) = \frac{π}{4} – x; du(x) = -dx\)
\(x = 0 ⇒ \frac{π}{4}; x = \frac{π}{2} ⇒ u = -\frac{π}{4}\)
\(\int_0^{\frac{π}{2}}sin(\frac{π}{4} – x)dx\)
\(= -\int_{\frac{π}{4}}^{-\frac{π}{4}}sinudu = cosu\Bigg|_{\frac{π}{4}}^{-\frac{π}{4}}\)
\(= cos(-\frac{π}{4}) – cos(\frac{π}{4}) = 0\)
Câu c: \(\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{1}{x(x +1)}dx\)
\(\int_0^2x(x + 1)^2dx = \int_0^2(x^3 + 2x^2 + x)dx\)
\(= \frac{x^4}{4} + \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\Bigg|_0^2\)
\(= \frac{16}{4} + \frac{16}{3} + \frac{4}{2} = \frac{34}{3}\)
Câu e: \(\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{1 – 3x}{(x + 1)^2}dx\)
\(= \int_{\frac{1}{2}}^2\frac{4 – 3(x + 1)}{(x + 1)^2}dx\)
\(\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{4}{(x + 1)^2dx} – \int_{\frac{1}{2}}^2\frac{3}{x + 1}dx\)
\(= (-\frac{4}{x + 1} – 3ln|x + 1|)\Bigg|_{\frac{1}{2}}^2\)
\(= -\frac{4}{3} – 3ln3 + \frac{8}{3} + 3ln(\frac{3}{2}) = \frac{4}{3} – 3ln2\)
Câu f: \(\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}sin3xcos5xdx\)
\(= \frac{1}{2}\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}(sin8x – sin2x)dx\)
\(= (-\frac{1}{16}cos8x + \frac{1}{4}cos2x)|_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\)
\(= -\frac{1}{16}cos4π + \frac{1}{4}cosπ + \frac{1}{16}cos(-4π) – \frac{1}{4}cos(-π) = 0\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 112 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 2: Tích Phân Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời