Bài Tập 7 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 12

Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12

Giải Bài Tập: Ôn Tập Chương III Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

Bài Tập 7 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 12

Trong hệ toạ độ \(\)\(Oxyz\), cho điểm \(A(-1 ; 2 ; -3)\), vectơ \(\vec a= (6 ; -2 ; -3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình:

\(\left\{ \matrix{ x = 1 + 3t \hfill \cr y = – 1 + 2t \hfill \cr z = 3 – 5t. \hfill \cr} \right.\)

a. Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa điểm \(A\) và vuông góc với giá của \(\vec a\).

b. Tìm giao điểm của \(d\) và \((α)\).

c. Viết phương trình đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(A\), vuông góc với giá của \(\vec a\) và cắt đường thẳng \(d\).

Lời Giải Bài Tập 7 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 12

Câu a: Mặt phẳng \((α)\) vuông góc với giá của \(\vec a\) nhận \(\vec a\) làm vectơ pháp tuyến; \((α)\) đi qua \(A(-1; 2; -3)\) có phương trình:

\(6(x + 1) – 2(y – 2) – 3(z + 3) = 0\) \( \Leftrightarrow 6x – 2y – 3z + 1 = 0\)

Câu b: Thay các biểu thức của \(x, y, z\) theo \(t\) trong phương trình tham số của \(∆\) vào phương trình \((α)\) ta có:

\(6.(1 + 3t) – 2(-1 + 2t) – 3(3 – 5t) + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow t = 0\).

Từ đây ta tính được toạ độ giao điểm \(M\) của \(d\) và \((α)\): \(M(1; -1; 3)\).

Câu c: Đường thẳng \(∆\) cần tìm chính là đường thẳng \(AM\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AM} \) làm vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow {AM} = (2; -3; 6)\)

Phương trình đường thẳng \(AM\):

\(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = – 1 – 3t \hfill \cr z = 3 + 6t \hfill \cr} \right.\)

Cách giải khác

Nhận xét:

Trọng tâm của bài 7 chính là ở câu c, câu a và câu b là các bước trong quá trình viết phương trình đường thẳng ∆.

Như vậy, các em cần ghi nhớ bài 7 để sau này có thể giải được các bài toán viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng \(d_1\) hoặc song song với mặt phẳng (P) (trong bài 7 dữ kiện được thay đổi thành vuông góc với \(\vec{a}\)) và cắt đường thẳng \(d_2\), cho trước.

Lời giải:

Câu a:

Mặt phẳng (α) đi qua A(-1; 2; -3) có vecto pháp tuyến \(\vec{n} = \vec{a} = (6; -2; -3) = 0\) nên có phương trình là:

6(x + 1) – 2(y – 2) – 3(z + 3) = 0 ⇔ 6x – 2y + 3z + 1 = 0 (1)

Câu b:

Thay x = 1 + 3t, y = -1 + 2t, z = 3 – 5t vào phương trình (1) ta được:

6(1 + 3t) – 2(-1 + 2t) – 3(3 – 5t) + 1 = 0 ⇔ t = 0

Khi đó: x = 1, y = -1, z = 3.

Vậy d cắt (α) tại điểm M(1; -1; 3).

Câu c:

Đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc với giá \(\vec{a}\) và cắt đường thẳng d chính là đường thẳng AM.

∆ có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{AM} = (2; -3; 6)\)

Phương trình tham số của ∆ là: \(\begin{cases}x = 1 + 2t\\ y = -1 – 3t\\ z = 3 + 6t\end{cases}\)

Các bạn đang xem lời giải bài 7 trang trang 92 sgk hình học lớp 12, các bạn có thể xem các lời giải khác ngay bên dưới đây nhé.