Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12
Giải Bài Tập: Ôn Tập Chương III Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian
Bài Tập 3 Trang 92 SGK Hình Học 12
Trong hệ toạ độ \(\)\(Oxyz\), cho bốn điểm \(A(-2 ; 6 ; 3), B(1 ; 0 ; 6), C(0; 2 ; -1), D(1 ; 4 ; 0)\).
a. Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.
b. Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\).
c. Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\).
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 92 DGK Hình Học Lớp 12
Câu a: Ta có: \(\overrightarrow {BC} = (-1; 2; -7)\), \(\overrightarrow {BD}= (0; 4; -6)\)
Xét vectơ \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]\) \( \Rightarrow \overrightarrow a = (16; – 6; – 4) = 2(8; – 3; – 2)\)
Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và nhận \(\overrightarrow {a’} = (8; -3; -2)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
\(8(x – 1) -3y – 2(z – 6) = 0\) \( \Leftrightarrow 8x – 3y – 2z + 4 = 0\)
Thay toạ độ của \(A\) vào phương trình của \((BC)\) ta có:
\(8.(-2) – 3.6 – 2.6 + 4 = -42 ≠ 0\)
Điều này chứng tỏ điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \((BCD)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, và \(ABCD\) là một tứ diện.
Câu b: Chiều cao \(AH\) là khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\):
\(AH = d(A,(BCD))\) = \({{\left| {8.( – 2) – 3.6 – 2.3 + 4} \right|} \over {\sqrt {{8^2} + {{( – 3)}^2} + {{( – 2)}^2}} }} = {{36} \over {\sqrt {77} }}\)
Câu c: Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3; – 6; 3)\), \(\overrightarrow {CD} = ( 1; 2; 1)\)
Mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và \(CD\) chính là mặt phẳng đi qua \(A(-2; 6; 3)\) và nhận cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\)
\(\Rightarrow \overrightarrow n \) = \((-12; 0; 12) = -12(1; 0; -1)\)
Vậy phương trình của \((α)\) là:
\(1(x + 2) + 0(y – 6) – 1(z – 3) = 0 \)\( \Leftrightarrow x – z + 5 = 0\)
Cách giải khác
Câu a: mp(BCD) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) vuông góc với hai vectơ \(\vec{BC} = (-1; 2; -7)\) và \(\vec{BD} = (0; 4; -6)\)
Chọn \(\vec{n} = (\vec{BC}; \vec{BD}) = (16; -6; -4)\) hay \(\vec{n} = (8; -3; -2)\)
Vậy phương trình của mp(BCD) là:
8(x – 1) – 3(y – 0) – 2(z – 6) = 0
⇔ 8x – 3y – 2x + 4 = 0
Ta có: \(8X_A – 3Y_A – 2Z_A + 4 = 8(-2) – 3(6) – 2(3) + 4 ≠ 0\)
Vậy A ∈ mp(BCD), hay ABCD là một tứ diện.
Câu b: Ta có: \(AH = d(A, (BCD)) = \frac{36}{\sqrt{77}}\)
Câu c: Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và song song với CD, (α) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) vuông góc với hai vectơ \(\vec{AB} = (3; -6; 3)\) và \(\vec{CD} = (1; 2; 1), \vec{n} = [\vec{AB}; \vec{CD}]\)
Ta có: \(\vec{n} = (-12; 0; 12)\) hay \vec{n} = (1; 0; -1)\)
Vậy phương trình của mp(α) là:
1(x – 1) + 0(y – 0) – 1(z – 6) = 0
⇔ x – z + 5 = 0
Xem các bài tập khác ngay bên dưới đây trong chương 3 phương pháp tọa độ trong không gian hình học 12. Ôn tập chương 3.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 93 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời