Bài Tập 3 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 12

Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12

Giải Bài Tập: Ôn Tập Chương III Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

Bài Tập 3 Trang 92 SGK Hình Học 12

Trong hệ toạ độ \(\)\(Oxyz\), cho bốn điểm \(A(-2 ; 6 ; 3), B(1 ; 0 ; 6), C(0; 2 ; -1), D(1 ; 4 ; 0)\).

a. Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.

b. Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\).

c. Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\).

Lời Giải Bài Tập 3 Trang 92 DGK Hình Học Lớp 12

Câu a: Ta có: \(\overrightarrow {BC} = (-1; 2; -7)\), \(\overrightarrow {BD}= (0; 4; -6)\)

Xét vectơ \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]\) \( \Rightarrow \overrightarrow a = (16; – 6; – 4) = 2(8; – 3; – 2)\)

Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và nhận \(\overrightarrow {a’} = (8; -3; -2)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

\(8(x – 1) -3y – 2(z – 6) = 0\) \( \Leftrightarrow 8x – 3y – 2z + 4 = 0\)

Thay toạ độ của \(A\) vào phương trình của \((BC)\) ta có:

\(8.(-2) – 3.6 – 2.6 + 4 = -42 ≠ 0\)

Điều này chứng tỏ điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \((BCD)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, và \(ABCD\) là một tứ diện.

Câu b: Chiều cao \(AH\) là khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\):

\(AH = d(A,(BCD))\) = \({{\left| {8.( – 2) – 3.6 – 2.3 + 4} \right|} \over {\sqrt {{8^2} + {{( – 3)}^2} + {{( – 2)}^2}} }} = {{36} \over {\sqrt {77} }}\)

Câu c: Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3; – 6; 3)\), \(\overrightarrow {CD} = ( 1; 2; 1)\)

Mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và \(CD\) chính là mặt phẳng đi qua \(A(-2; 6; 3)\) và nhận cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\)
\(\Rightarrow \overrightarrow n \) = \((-12; 0; 12) = -12(1; 0; -1)\)

Vậy phương trình của \((α)\) là:

\(1(x + 2) + 0(y – 6) – 1(z – 3) = 0 \)\( \Leftrightarrow x – z + 5 = 0\)

Cách giải khác

Câu a: mp(BCD) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) vuông góc với hai vectơ \(\vec{BC} = (-1; 2; -7)\) và \(\vec{BD} = (0; 4; -6)\)

Chọn \(\vec{n} = (\vec{BC}; \vec{BD}) = (16; -6; -4)\) hay \(\vec{n} = (8; -3; -2)\)

Vậy phương trình của mp(BCD) là:

8(x – 1) – 3(y – 0) – 2(z – 6) = 0

⇔ 8x – 3y – 2x + 4 = 0

Ta có: \(8X_A – 3Y_A – 2Z_A + 4 = 8(-2) – 3(6) – 2(3) + 4 ≠ 0\)

Vậy A ∈ mp(BCD), hay ABCD là một tứ diện.

Câu b: Ta có: \(AH = d(A, (BCD)) = \frac{36}{\sqrt{77}}\)

Câu c: Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và song song với CD, (α) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) vuông góc với hai vectơ \(\vec{AB} = (3; -6; 3)\) và \(\vec{CD} = (1; 2; 1), \vec{n} = [\vec{AB}; \vec{CD}]\)

Ta có: \(\vec{n} = (-12; 0; 12)\) hay \vec{n} = (1; 0; -1)\)

Vậy phương trình của mp(α) là:

1(x – 1) + 0(y – 0) – 1(z – 6) = 0

⇔ x – z + 5 = 0

Xem các bài tập khác ngay bên dưới đây trong chương 3 phương pháp tọa độ trong không gian hình học 12. Ôn tập chương 3.