Mục Lục Bài Viết
Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Tích Phân
Khái niệm tích phấn được giới thiệu ngay sau khái niệm nguyên hàm, là sự kế thừa và phát triển tinh hoa toán học ở các bài trước. Tương tự với Bài 1: Nguyên Hàm, Bài 2: Tích Phân sẽ giới thiệu đến các bạn những khái niệm, các tính chất của tích phân, cùng với đó là các phương pháp tính tích phân là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần để xây dựng lên nền tảng nguyên ham của một hàm số.
I. Khái Niệm Tích Phân
1. Diện tích hình thang cong
Câu hỏi 1 bài 2 trang 103 SGK giải tích lớp 12: Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 5) (Hình 45).
1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (Hình 46).
2. Tính diện tích S(t) của hình T khi t ∈ [1; 5].
3. Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1).
Giải:
Câu 1: Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (Hình 46).
Phương pháp giải: Dựa vào công thức tính diện tích hình thang ABCD(AB // CD) là: \(S = \frac{(AB + CD).h}{2}\)
Giải: Hình 46. Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1, 0), D là điểm có tọa độ (5, 0). B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 1 và x = 5 với đường thẳng y = 2x + 1.
– Khi đó B và C sẽ có tọa độ lần lượt là (1, 3) và (5, 11).
– Ta có: AB = 3, CD = 11, AD = 4. Diện tích hình thang:
\(ABCD = \frac{(AB + CD).AD}{2} = 28\)
Câu 2: Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5]
Phương pháp giải: Dựa vào công thức tính diện tích hình thang ABCD(AB // CD) là: \(S = \frac{(AB + CD).h}{2}\)
Giải: Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0), D là điểm có tọa độ (t, 0). B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 1 và x = t với đường thẳng y = 2x + 1.
– Khi đó ta có B (1, 3) và C (t, 2t + 1).
– Ta có AB = 3, AD = t – 1, CD = 2t + 1.
– Khi đó diện tích hình thang:
\(S(t) = \frac{(AB + CD).AD}{2}\)
\(= \frac{(3 + 2t + 1).(t – 1)}{2} = t^2 + t – 2\)
Đo dó \(S(t) = t^2 + t – 2\)
Câu 3: Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1).
Phương pháp giải: Dựa vào công thức tính diện tích hình thang ABCD(AB // CD) là: \(S = \frac{(AB + CD).h}{2}\)
Giải: Vì \(S'(t) = (t^2 + t – 2)’ = 2t + 1\) nên hàm số S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5]
Dễ thấy \(S(5) – S(1) = (5^2 + 5 – 2) – (1^2 + 1 – 2) = 28 = S\) hay S = S(5) – S(1).
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong (Hình 47a).
Ở lớp dưới, ta đã biết cách tính diện tích hình chữ nhật, hình tam giác. Bây giờ, ta xét bài toán tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi một đường công kín bất kì (Hình 47b).
Bằng cách kẻ các đường thẳng song song với các trục tọa độ, ta chia D thành những hình nhỏ là những hình thang cong (Hình 47a). Bài toán trên được đưa về tính diện tích của hình thang cong.
Ví dụ 1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong \(y = x^2\), trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1.
Giải: Với mỗi x ∈ [0; 1] gọi S(x) là diện tích của phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ 0 và x (Hình 48).
Ta chứng minh: \(S'(x) = x^2, x ∈ [0; 1]\)
Thật vậy, với h > 0, kí hiệu \(S_{MNPQ}\) và \(S_{MNEF}\) lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF (Hình 49), ta có:
\(S_{MNPQ} ≤ S(x + h) – S(x) ≤ S_{MNEF}\)
hay
\(hx^2 ≤ S(x + h) – S(x) ≤ h(x + h)^2\)
Vậy
\(0 ≤ \frac{S(x +h) – S(x)}{h} – x^2 ≤ 2xh + h^2\)
Với h < 0, tính toán tương tự, ta được
\(2xh + h^2 ≤ \frac{S(x + h) – S(x)}{h} – x^2 ≤ 0\)
Tóm lại với mọi h ≠ 0, ta có:
\(|\frac{S(x + h) – S(x)}{h} – x^2| ≤ 2x|h| + h^2\)
Suy ra
\(S'(x) = \lim_{h → 0} \frac{S(x + h) – S(x)}{h} = x^2\)
Do đó, S(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x^2\) trên đoạn [0; 1]
Mặt khác trên đoạn đó, \(F(x) = \frac{x^3}{3}\) cũng là nguyên hàm của \(f(x) = x^2\) nên
\(S(x) = \frac{x^3}{3} + C, C ∈ R\)
Từ giả thiết S(0) = 0, suy ra C = 0. Vậy
\(S(x) = \frac{x^3}{3}\)
Thay x = 1 vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình cần tìm là \(S(1) = \frac{1}{3}\)
Bây giờ, ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì.
Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b (a < b), trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].
Với mỗi x ∈ [a; b] kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và x (Hình 50).
Ta cũng chứng minh được S(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) + C.
Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = -F(x)
Vậy S(x) = F(x) – F(a)
Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là S(b) = F(b) – F(a).
2. Định nghĩa tích phân
Câu hỏi 2 bài 2 trang 106 SGK giải tích lớp 12: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a), (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm).
Giải:
– Vì F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của f(x) nên tồn tại một hằng số C sao cho: F(x) = G(x) + C
– Khi đó F(b) – F(a) = G(b) + C – G(a) – C = G(b) – G(a).
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là \(\int_a^bf(x)dx\).
Ta còn dùng kí hiệu \(F(x)\Bigg|_a^b\) để chỉ hiệu số F(b) – F(a).
Vậy \(\int_a^bf(x)dx = F(x)\Bigg|_a^b = F(b) – F(a)\)
Ta gọi \(\int_a^b\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú Ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước
\(\int_a^af(x)dx = 0; \int_a^bf(x)dx = -\int_b^af(x)dx.\)
Ví dụ 2:
1. \(\int_1^22xdx = x^2\Bigg|_1^2 = 2^2 – 1^2 = 4 – 1 = 3\)
2. \(\int_1^e\frac{1}{t}dt = lnt\Bigg|_1^e = lne – ln1 = 1 – 0 = 1\)
Nhận xét:
a. Tích phân của hàm f từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int_a^bf(x)dx\) hay \(\int_a^bf(t)dt\). Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.
b. Ý nghĩa hình học của tích phân. Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân \(\int_a^bf(x)dx\) là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (Hình 47a). Vậy
\(S = \int_a^bf(x)dx\)
II. Tính Chất Của Tích Phân
Tính chất 1: \(\int_a^bkf(x)dx = K\int_a^bf(x)dx\) (k là hằng số)
Tính chất 2: \(\int_a^b[f(x) ± g(x)]dx = \int_a^bf(x)dx ± \int_a^bg(x)dx\)
Câu hỏi 3 bài 2 trang 108 SGK giải tích lớp 12: Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.
Giải:
Tính chất 1:
– Nếu k = 0 thì tính chất đúng
– Nếu k ≠ 0 thì \(\int kf(x)dx = k\int f(x)dx = F(x)\)
\(⇒ \int f(x)dx = \frac{F(x)}{k}\)
Do đó \(\int_a^bkf(x)dx = F(x)\Bigg|_a^b = F(b) – F(a)\) và
\(k\int_a^bf(x)dx = k.\frac{F(x)}{k}\Bigg|_a^b = F(b) – F(a)\)
Từ đó suy ra \(\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^bf(x)dx\)
Tính chất 2:
Giải sử F(x), G(x) lần lượt là các nguyên hàm của hai hàm số f(x), g(x).
Ta có: \(\int [f(x) ± g(x)]dx = \int f(x)dx ± \int g(x)dx = F(x) ± G(x)\)
Khi đó \(\int_a^b [f(x) ± g(x)]dx = [F(x) ± G(x)]\Bigg|_a^b\)
\(= [F(b) ± G(b)] – [F(a) ± G(a)] = [F(b) – F(a)] ± [G(b) – G(a)]\)
Lại có \(\int_a^bf(x)dx ± \int_a^bg(x)dx = F(x)\Bigg|_a^b ± G(x)\Bigg|_a^b\)
\(= [F(b) – F(a)] ± [G(b) – G(a)]\)
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Tính \(\int_1^4(x^2 + 3\sqrt{x})dx\)
Giải: Ta có:
\(\int_1^4(x^2 + 3\sqrt{3})dx = \int_1^4x^2dx + 3\int_1^4x^{\frac{1}{2}}dx\)
\(= (\frac{x^3}{3})\Bigg|_a^4 + 3(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}})\Bigg|_a^4\)
\(= \frac{4^3 – 1}{3} + 2(x^3 – 1) = 35\)
Tính chất 3: \(\int_a^bf(x)dx = \int_a^cf(x)dx + \int_c^bf(x)dx\) (a < c < b)
Chứng minh: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Khi đó, F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên mỗi đoạn [a; c] và [c; b]. Do đó, ta có:
\(\int_a^cf(x)dx + \int_c^bf(x)dx = (F(x) – F(a)) + (F(b) – F(c))\)
\(= F(b) – F(a) = \int_a^bf(x)dx\)
Ví dụ 4: Tính \(\int_0^{2π}\sqrt{1 – cos2x}dx\)
Giải: Ta có:
\(\int_0^{2π}\sqrt{1 – cos2x}dx = \int_0^{2π}\sqrt{2sin^2x}dx = \sqrt{2}\int_0^{2π}|sinx|dx\)
Vì \(|sinx| = \begin{cases}sinx, \, \, nếu \, \, 0 ≤ x ≤ π\\-sinx, \, \, nếu \, \, π ≤ x ≤ 2π\end{cases}\)
nên \(\int_0^{2π}\sqrt{1 – cos2x}dx = \sqrt{2}(\int_0^π|sinx|dx + \int_π^{2π}|sinx|dx)\)
\(= \sqrt{2}(\int_0^πsinxdx – \int_π^{2π}sinxdx)\)
\(= \sqrt{2}[(-cosx)\Bigg|_0^π + (cosx)\Bigg|_π^{2π}] = 4\sqrt{2}\)
III. Phương Pháp Tính Tích Phân
1. Phương pháp đổi biến số
Câu hỏi 4 bài 2 trang 110 SGK giải tích lớp 12: Cho tích phân \(I = \int_0^1(2x + 1)^2dx\)
1. Tính I bằng cách khai triển \((2x + 1)^2\).
2. Đặt u = 2x + 1. Biến đổi biểu thức \((2x + 1)^2dx\) thành g(u)du.
3. Tính \(\int_{u(0)}^{u(1)}g(u)du\) và so sánh kết quả với I trong câu 1.
Giải:
Câu a: Tính I bằng cách khai triển \((2x + 1)^2\).
\(I = \int_0^1(2x + 1)^2dx = \int_0^1(4x^2 + 4x + 1)dx\)
\(= (\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x)\Bigg|_0^1 = \frac{13}{3}\)
Câu 2: Đặt u = 2x + 1. Biến đổi biểu thức \((2x + 1)^2dx\) thành g(u)du.
Vì u = 2x + 1 nên du = 2dx. Ta có:
\((2x + 1)^2dx = u^2\frac{du}{2}\)
Câu 3: Tính \(\int_{u(0)}^{u(1)}g(u)du\) và so sánh kết quả với I trong câu 1.
\(u(1) = 3; u(0) = 1\). Ta có:
\(\int_{u(0)}^{u(1)}g(u)du = \int_1^3u^2\frac{du}{2}\)
\(= \frac{u^3}{6}\Bigg|_1^3 = \frac{13}{3}\)
Vậy \(I = \frac{13}{3}\)
Tương tự phương pháp đổi biến số trong việc tính nguyên hàm, ta có định lí sau đây:
Định lý: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([α; β]^{(*)}\) sao cho φ(α) = a, φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β]. Khi đó:
\(\int_a^bf(x)dx = \int_α^βf(φ(t)φ'(t))dt\)
Ví dụ 5: Tính \(\int_0^1\frac{1}{1 + x^2}dx\)
Giải: Đặt x = tant. Ta có \(x'(t) = \frac{1}{cos^2t}\)
Khi x = 0 thì t = 0, khi x = 1 thì \(t = \frac{π}{4}\)
Các giả thiết của định lí trên được thỏa mãn. Do đó:
\(\int_0^1\frac{1}{1 + x^2}dx = \int_0^{\frac{π}{4}}\frac{1}{1 + tan^2t}.\frac{dt}{cos^2t} = \int_0^{\frac{π}{4}}dt = \frac{π}{4}\)
(*) Nếu β < α, ta xét đoạn [β; α].
Chú ý:
Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính \(\int_a^bf(x)dx\), đôi khi ta chọn hàm số u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục và u(x) ∈ [α; β].
Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u'(x), x ∈ [a; b], với g(u) liên tục trên đoạn [α; β].
Khi đó, ta có:
\(\int_a^bf(x)dx = \int_{u(a)}^{u(b)}g(u)du\)
Ví dụ 6: Tính \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin^2xcosxdx\)
Giải: Đặt u = sinx. Ta có u’ = cosx
Khi x = 0 thì u(0) = 0, khi \(x = \frac{π}{2}\) thì \(u(\frac{π}{2}) = 1\).
Vậy \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin^2xcosxdx = \int_0^1u^2du = \frac{1}{3}u^3\Bigg|_0^1 = \frac{1}{3}\)
Ví dụ 7: Tính \(\int_0^1\frac{x}{(1 + x^2)^3}dx\)
Giải: Đặt \(u = 1 + x^2\), ta có \(u’ = 2x, u(0) = 1, u(1) = 2\) nên
\(\int_0^1\frac{x}{(1 + x^2)^3}dx = \frac{1}{2}\int_1^2\frac{1}{u^3}du\)
\(= -\frac{1}{4}.\frac{1}{u^2}\Bigg|_1^2\)
\(= -\frac{1}{4}(\frac{1}{2^2} – 1) = \frac{3}{16}\)
2. Phương pháp tính tích phân từng phần
Câu hỏi 5 bài 2 trang 112 SGK giải tích lớp 12:
a. Hãy tính \(\int (x + 1)e^xdx\) bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
b. Từ đó tính \(\int_0^1 (x + 1)e^xdx\).
Giải:
Câu a: Đặt \(\begin{cases}u = x + 1\\dv = e^xdx\end{cases}\)
\(⇒ \begin{cases}du = dx\\v = e^x\end{cases}\)
\(⇒ \int (x + 1)e^xdx = (x + 1)e^x – \int e^xdx\)
\(= (x + 1)e^x – e^x + C\)
Câu b: Từ đó tính \(\int_0^1 (x + 1)e^xdx\).
Giải: Vì \(F(x) = xe^x\) một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = (x + 1)e^x\) nên
\(\int_0^1(x + 1)e^xdx = xe^x\Bigg|_0^1 = 1.e^1 – 0.e^0 = e\)
Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lý sau đây.
Định lý: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
\(\int_a^bu(x)v'(x)dx = (u(x)v(x))\Bigg|_a^b – \int_a^bu'(x)v(x)dx\)
hay \(\int_a^budv = uv\Bigg|_a^b – \int_a^bvdu\).
Ví dụ 8: Tính \(\int_0^{\frac{π}{2}}xsinxdx\).
Giải: Đặt u = x và dv = sinxdx, ta có du = dx và v = -cosx. Do đó:
\(\int_0^{\frac{π}{2}}xsinxdx = (-xcosx)\Bigg|_0^{\frac{π}{2}} + \int_0^{\frac{π}{2}}cosxdx\)
\(= (-xcosx)\Bigg|_0^{\frac{π}{2}} + (sinx)\Bigg|_0^{\frac{π}{2}} = 0 + 1 = 1\)
Ví dụ 9: Tính \(\int_1^e\frac{lnx}{x^2}dx\)
Giải: Đặt \(u = lnx\) và \(dv = \frac{1}{x^2}dx\), ta có \(du = \frac{1}{x}dx\) và \(v = -\frac{1}{x}\). Do đó
\(\int_1^e\frac{lnx}{x^2}dx = -\frac{1}{x}lnx\Bigg|_1^e + \int_1^e\frac{1}{x^2}dx\)
\(= (-\frac{1}{x}lnx – \frac{1}{x})\Bigg|_1^e\)
\(= (-\frac{1}{e} – \frac{1}{e}) – (0 – 1) = 1 – \frac{2}{e}\)
Bài Tập Bài 2: Tích Phân
Hướng dẫn giải bài tập Bài 2: Tích Phân Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Bài học giúp các bạn biết khái niệm diện tích hình thang cong. Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục, cùng với đó là các tính chất và các phương pháp tích phân.
Bài Tập 1 Trang 112 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính các tích phân sau:
a. \(\)\(\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{(1 – x)^2}dx\)
b. \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin(\frac{π}{4} – x)dx\)
c. \(\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{1}{x(x +1)}dx\)
d. \(\int_0^2x(x + 1)^2dx\)
e. \(\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{1 – 3x}{(x + 1)^2}dx\)
g. \(\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}sin3xcos5xdx\)
Bài Tập 2 Trang 112 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính các tích phân sau:
a. \(\)\(\int_0^2|1 – x|dx\)
b. \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin^2xdx\)
c. \(\int_0^{ln2}\frac{e^{2x + 1} + 1}{e^x}dx\)
d. \(\int_0^πsin2xcos^2xdx\)
Bài Tập 3 Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12
Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
a. \(\)\(\int_0^3\frac{x^2}{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (đặt u = x + 1)
b. \(\int_0^1\sqrt{1 – x^2}dx\) (đặt x = sint)
c. \(\int_0^1\frac{e^x(1 + x)}{1 + xe^x}dx\) (đặt \(u = 1 + xe^x\))
d. \(\int_0^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}}dx (a > 0)\) (đặt x = asint)
Bài Tập 4 Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính:
a. \(\)\(\int_0^{\frac{π}{2}}(x + 1)sin xdx\)
b. \(\int_1^ex^2lnxdx\)
c. \(\int_0^1ln(1 + x)dx\)
d. \(\int_0^1(x^2 – 2x – 1)e^{-x}dx\)
Bài Tập 5 Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính các tính phân sau:
a. \(\)\(\int_0^1(1 + 3x)^{\frac{3}{2}}dx\)
b. \(\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^3 – 1}{x^2 – 1}dx\)
c. \(\int_1^2\frac{ln(1 + x)}{x^2}dx\)
Bài Tập 6 Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính \(\)\(\int_0^1x(1 – x)^5dx\) bằng hai phương pháp:
a. Đổi biến số \(u = 1 – x\)
b. Tích phân từng phần
Bạn Có Biết
Niu-Tơn (Issac NewTon)
Niu-tơn (1643 – 1727) là nhà toán học, vật lí học, cơ học và thiên văn học vĩ đại người Anh.
Sinh ra thiếu tháng, Niu-tơn là một đứa trẻ yếu ớt. Lớn lên Niu-tơn cũng không phải là một cậu bé khoẻ mạnh. Cậu thường phải tránh những trò chơi hiếu động của đám bạn bè cùng lứa tuổi. Thay vào đó, cậu tự sáng chế ra những trò chơi cho riêng mình, qua đó cũng thấy được tài năng thực nghiệm của Niu-tơn sớm được bộc lộ. Khi thì cậu làm ra những đồ chơi cơ học, như chiếc đồng hồ bằng gỗ chạy được, khi thì cậu sáng chế ra chiếc cối xay gió, bên trong để một con chuột đóng vai trò người thợ xay. Có lần vào ban đêm Niu-tơn đã thả chiếc diều mang đèn lồng chiếu sáng, khiến cho dân làng hoảng sợ. Và ngay từ lúc nhỏ, Niu-tơn đã rất chịu khó đọc sách và ghi chép cẩn thận những điều lí thú mà cậu đọc được trong sách.
Năm 1661, 18 tuổi, Niu-tơn vào học tại trường Đại học Cam-brit (Cambridge). Từ đó Niu-tơn thực sự quan tâm đến khoa học. Thầy dạy toán của Niu-tơn thừa nhận cậu sinh viên xuất sắc của mình đã vượt mình và năm 1669 ông nhường chức vụ giáo sư cho người học trò lỗi lạc ấy. Niu-tơn giữ chức này cho đến năm 1701. Cống hiến lớn lao của Niu-tơn đối với toán học là đồng thời và độc lập với Lai-bơ-nit (G, Leibniz), ông đã sáng lập ra phép tính vi phân và tích phân. Ngay từ những năm 1665 – 1666, lúc 22, 23 tuổi, Niu-tơn đã xây dựng cơ sở của phép tính này mà ông gọi là “phương pháp thông lượng”, và ông đã áp dụng phương pháp đó để giải những bài toán về Cơ học. Niu-tơn và Lai-bơ-nit đều phát hiện ra mối liên hệ sâu sắc giữa tích phân và nguyên hàm. Lịch sử Toán học cho thấy khái niệm tích phân đã xuất hiện độc lập với đạo hàm và nguyên hàm. Do đó, việc thiết lập mối liên hệ giữa tích phân với nguyên hàm là một phát minh vĩ đại của Niu-tơn và Lai-bơ-nit. Kết quả này đã được sử dụng làm định nghĩa tích phân.
Niu-tơn đã có những phát minh cơ bản về dãy vô hạn. Đặc biệt, ông mở rộng định lí, nay gọi là “định lí nhị thức Niu-tơn” cho trường hợp số mũ là một số thực tuỳ ý.
Niu-tơn còn có những cống hiến lớn lao trong các lĩnh vực Đại số, Hình học, Cơ học và Vật lí. Ông đã phát minh ra định luật vĩ đại về vạn vật hấp dẫn.
Trên là nội dung Bài 2: Tích Phân Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Bài học giúp các bạn biết khái niệm diện tích hình thang cong, bết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục, cùng với đó là các tính chất và các phương pháp tích phân. Bạn thấy nội dung bài học này thế nào? Để lại lý kiến đóng góp ngay bên dưới đây nhé.
Trả lời