Bài 2: Tích Phân

Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12

Bài 2: Tích Phân

Khái niệm tích phấn được giới thiệu ngay sau khái niệm nguyên hàm, là sự kế thừa và phát triển tinh hoa toán học ở các bài trước. Tương tự với bài học Nguyên Hàm, Tích Phân tích phân sẽ giới thiệu đến các bạn những khái niệm, các tính chất của tích phân, cùng với đó là các phương pháp tính tích phân là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần để xây dựng lên nền tảng nguyên ham của một hàm số.

Tóm Tắt Lý Thuyết Cần Nắm

I. Khái Niệm Tích Phân

1. Diện tích của hình thang cong

Giả sử y = f(x) là một hàm số liên tục và f(x) ≥ 0 trên đoạn [a; b]. Thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a).

Trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f(x) trên [a; b].

2. Định nghĩa phân tích

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là: \(\int_{a}^{b} f(x)dx\).

Ta gọi \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x) dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước.

\(\int_{a}^{b}f(x)dx = 0; \int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{a}^{b} f(x)dx\)

II. Tích Phân của Tích Phân

\(\int_{a}^{b} kf(x)dx = k\int_{a}^{b} f(x)dx\) (k là hằng số)

\(\int_{a}^{b} [f(x) ± g(x)]dx = \int_{a}^{b}f(x)dx ± \int_{a}^{b} g(x)dx\)

\(\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{a}^{b} f(x)dx (a < c < b)\)

III. Phương Pháp Tích Phân

1. Phương pháp biến đổi số

* Định lý: Cho hàm số f(x) liên trục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α; β] sao cho φ(α) = a; φ(β) = b và a ≤ φ (t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β]

Khi đó \(\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{α}^{β}f(φ(t))φ(t)dt\)

Chú ý: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính \(\int_{a}^{b}f(x)dx\), đôi khi ta chọn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục và u(x) ∈ [α; β] và có thể viết \(f(x) = g(u(x))u'(x), x ∈ [α; β]\)

Với g(u) liên tục trên đoạn [α; β]. Khi đó ta có:

\(\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{u(a)}^{u(b)}g(u)du\)

2. Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lý:

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì \(\int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx = (u(x)v(x))|_a^b – \int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx\)

Hay \(\int_{a}^{b}udv = uv|_a^b – \int_{a}^{b}vdu\)

Bài Tập & Lời Giải Bài Tập 2 Tích Phân – Giải Tích 12

Bài Tập 1: Trang 112 SGK Giải Tích Lớp 12

a) \(\)\(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\)

b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\)

c)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x(x+1)}dx\)

d) \(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\)

e)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\)

g) \(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\)

>> Xem: lời giải bài tập 1 trang 112 sgk giải tích lớp 12

Bài Tập 2: Trang 112 SGK Giải Tích Lớp 12

a) \(\)\(\int_0^2 {\left| {1 – x} \right|} dx\)

b) \(\int_0^{{\pi \over 2}} s i{n^2}xdx\)

c) \(\int_0^{ln2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx\)

d) \(\int_0^\pi s in2xco{s^2}xdx\)

>> Xem: lời giải bài tập 2 trang 112 sgk giải tích lớp 12

Bài Tập 3: Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12

a) \(\)\(13t^2\)\(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (Đặt \(u= x+1\))

b) \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\) (Đặt \(x = sint\) )

c) \(\int_{0}^{1}\frac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\) (Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\))

d)\(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\) (Đặt \(x= asint\))

>> Xem: lời giải bài tập 3 trang 113 sgk giải tích lớp 12

Bài Tập 4: Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12

a) \(\)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\)

b) \(\int_{1}^{e}x^{2}lnxdx\)

c) \(\int_{0}^{1}ln(1+x))dx\)

d) \(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)e^{-x}dx\)

>> Xem: lời giải bài tập 4 trang 113 sgk giải tích lớp 12

Bài Tập 5: Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12

Tính các tích phân sau:

a) \(\)\(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\)

b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\)

c) \(\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx\)

>> Xem: lời giải bài tập 5 trang 113 sgk giải tích lớp 12

Bài Tập 6: Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12

Tính tích phân \(\)\(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx\) bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số u = 1 – x;

b) Tính tích phân từng phần.

>> Xem: lời giải bài tập 6 trang 113 sgk giải tích lớp 12