Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số

Chương IV: Giới Hạn – Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số

Nội dung của bài học tiếp theo trong chương IV là bài 2 giới hạn của hàm số. Bài học các em sẽ được làm quen với các dạng bài tập tính toán giới hạn của hàm số, cùng với đó là một số những ví dụ minh họa giúp các em hoàn thành các bài tập trong sách giáo khoa.

Tóm Tắt Lý Thuyết

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1: Cho khoảng K chứa điểm \(x_0\) và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên \(K \ {x_0}\). Nếu với mọi dãy số \((x_n)\), \(x_n ∈ K \ {x_0}\) mà \(limx_n = x_0\) ta đều có \(limf(x_n) = L\) thì ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới \(x_0\), kí hiệu \(\lim_{x \rightarrow x_0} = L\) hay f(x) → L khi \(x → x_0\).

Định lí 1:

a. Giả sử \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L\) và \(\lim_{x \rightarrow x_0}g(x) = M\) thì:

\(\lim_{x \rightarrow x_0}[f(x) ± g(x)] = L ± M\)

\(\lim_{x \rightarrow x_0}[f(x).g(x)] = L.M\)

\(\lim_{x \rightarrow x_0}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{L}{M}\) (nếu M ≠ 0)

b. Nếu f(x) ≥ 0 là \(\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = L\) là L ≥ 0 và \(\lim_{x \rightarrow x_0}\sqrt{f(x)} = \sqrt{L}\)

2. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng \((x_0, b)\). Nếu với mọi dãy số \((x_n), x_n ∈ (x_0, b)\) mà \(limx_n = x_0\) ta đều có:

• f(x) → L thì ta nói L là giới hạn bên phải của f(x) khi \(x → x_0\). Khi đó ta kí hiệu: \(\lim_{x \rightarrow x_0^+} = L\)
• Trong trường hợp f(x) xác định trên khoảng \((a, x_0)\), ta có \(\lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = L\) (L là giới hạn bên trái của f(x) khi \(x → x_0\))

Định lý 2:

\(\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = L\)

\(⇔ \lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x)\)

\(= \lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) = L\)

3. Giới hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, +∞) (khoảng (-∞, a)). Nếu với mọi dãy số \((x_n)\) mà \(x_n > a (x_n < a)\) và \(limx_n = + ∞ (limx_n = -∞)\) ta đều có \(f(x_n) → L\) thì ta nói L là giới hạn của f(x) khi x → +∞ (x → -∞).

Khi đó ta kí hiệu: \(\lim_{x \rightarrow +∞}f(x) = L(\lim_{x \rightarrow +∞}f(x) = L)\) hay f(x) → L khi x → +∞ (f(x) → L khi x → -∞)

4. Giới hạn vô cực của hàm số

Định nghĩa 4: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, +∞) hay khoảng (-∞, a). Nếu với mọi dãy số \((x_n)\) mà \(x_n > a (x_n < a)\) và \(x_n → +∞ (x → -∞)\) ta đều có f(x) → -∞ (f(x) → +∞) thì ta nói hàm số f(x) có giới hạn là -∞ (+∞) khi \(x_n → +∞ (x → -∞)\). Khi đó ta kí hiệu:

\(\lim_{x \rightarrow +∞}f(x) = -∞(\lim_{x \rightarrow + ∞}f(x) = +∞)\)

Định nghĩa tương tự với các trường hợp khác.

Một số giới hạn đặc biệt:

a. \(\lim_{x \rightarrow +∞}X^k = +∞\), k nguyên dương

b. \(\lim_{x \rightarrow -∞}X^k\) là -∞ nếu k lẻ, là +∞ nếu k chẵn.

5. Một số quy tắc về giới hạn vô cực

a. Quy tắc tìm giới hạn của tích

b. Quy tắc tìm giới hạn thương

Các Bài Tập & Lời Giải Bài Tập SGK Bài 2 Giới Hàn Của Hàm Số

Hướng dẫn làm bài tập sgk bài 2 giới hạn của hàm số chương 4 đại số & giải tích 11. Bài học giới thiệu đến các bạn định nghĩa và định lý giới hạn của hàm số, từ đó vận dụng giải các bài tập sgk.

Bài Tập 1 Trang 132 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a) \(\)\(\underset{x → 4}{lim}\frac{x+1}{3x – 2}\);

b) \(\underset{x → + ∞}{lim}\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\).

>> Xem: lời giải bài tập 1 trang 132 sgk đại số & giải tích lớp 11

Bài Tập 2 Trang 132 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Cho hàm số \(f(x) =\left\{\begin{matrix} \sqrt{x} + 1; x ≥ 0 \\ 2x; x < 0 \end{matrix}\right.\)

và các dãy số \((u_n)\)với \(u_n = \frac{1}{n}\), \((v_n)\) với \(v_n = -\frac{1}{n}\).

Tính \(lim u_n, lim v_n, lim f(u_n)\) và \(lim (v_n).\)

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x → 0 ?

>> Xem: lời giải bài tập 2 trang 132 sgk đại số & giải tích lớp 11

Bài Tập 3 Trang 132 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Tính các giới hạn sau:

a) \(\underset{x → -3}{lim}\) \(\frac{x^{2 }-1}{x+1}\);

b) \(\underset{x → -2}{lim}\) \(\frac{4-x^{2}}{x + 2}\);

c) \(\underset{x → 6}{lim}\) \(\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\);

d) \(\underset{x → + ∞}{lim}\) \(\frac{2x-6}{4-x}\);

e) \(\underset{x → + ∞}{lim}\) \(\frac{17}{x^{2}+1}\);

f) \(\underset{x → + ∞}{lim}\) \(\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}\).

>> Xem: lời giải bài tập 3 trang 132 sgk đại số & giải tích lớp 11

Bài Tập 4 Trang 132 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Tính các giới hạn sau:

a) \(\underset{x → 2}{lim}\) \(\frac{3x -5}{(x-2)^{2}}\);

b) \(\underset{x → 1^{-}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\);

c) \(\underset{x → 1^{+}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\).

>> Xem: lời giải bài tập 4 trang 132 sgk đại số & giải tích lớp 11

Bài Tập 5 Trang 133 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Cho hàm số \(f(x) = \frac{x+2}{x^{2}-9}\) có đồ thị như trên hình 53.

a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x → -∞\), \(x → 3^-\) và \(x → -3^+\)

b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

\(\underset{x → -∞ }{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-∞; -3)\),

\(\underset{x → 3^{-}}{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3,3)\),

\(\underset{x → -3^{+}}{lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\).

>> Xem: lời giải bài tập 5 trang 133 sgk đại số & giải tích lớp 11

Bài Tập 6 Trang 133 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Tính:

a) \(\lim_{+∞ } (x^4 – x^2 + x – 1)\) ;

b) \(\lim_{-∞ } (-2x^3 + 3x^2 -5 )\);

c) \(\lim_{-∞ } \sqrt{x^2-2x+5}\)

d) \(\lim_{+∞ } \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{5-2x}\)

>> Xem: lời giải bài tập 6 trang 133 sgk đại số & giải tích lớp 11

Bài Tập 7 Trang 133 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A’B’ của nó tới quang tâm O của thấu kính. Công thức thấu kính là \(\frac{1}{d}+\frac{1}{d’} = \frac{1}{f}.\)

a) Tìm biểu thức xác định hàm số d’ = f(d)

b) Tìm \(\underset{d → f^{+} }{lim}φ(d)\), \(\underset{d → f^{-} }{lim}φ(d)\) và \(\underset{d → +∞}{lim}φ(d)\). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.

>> Xem: lời giải bài tập 7 trang 133 sgk đại số & giải tích lớp 11

Lời Kết: Đây là một trog những bài học khá quan trong của chương IV. Chính vì thế các em cần phải giải các bài tập một cách nhuần nhuyễn để giải quyết hầu hết các câu hỏi bài tập trong các kỳ thi hoặc kiểm tra. Chúc các em học tốt bài 2 giới hạn của hàm số chương IV đại số & giải tích lớp 11.

Sau cùng HocTapHay.Com xin chúc các bạn có kết quả học tốt nhất trong kỳ thi sắp tới nhé. Đừng quên để lại một like và một bình luận đóng góp ý kiến để xây dựng một diễn đàn học tập chất lượng nhé.