Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số

Chương IV: Giới Hạn – Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số

Nội dung Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số thuộc Chương IV: Giới Hạn môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài học giúp các bạn nắm được định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới han vô cực, giới hạn ở vô cực của hàm số và của nó. Biết các định lí về giới hạn của hàm số. Về kỹ năng, biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản của hàm số, vận dụng định lý về giới hạn vào việc tính các giới hạn đơn giản. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.

I. Giới Hạn Hữu Hạn Của Hàm Số Tại Một Điểm

1. Định nghĩa

Câu hỏi 1 bài 2 trang 123 SGK đại số & giải tích lớp 11: Xét hàm số \(f(x) = \frac{2x^2 – 2x}{x – 1}\)

1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số \((x_n), x_n → 1\) như trong bảng sau:

Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số \(f(x_1), f(x_2),…,f(x_n),…\) cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là \((f(x_n))\).

a. Chứng minh rằng \(f(x_n) = 2x_n = \frac{2n + 2}{n}\)

b. Tìm giới hạn của dãy số \((f(x_n))\).

Giải:

Câu a: Chứng minh rằng \(f(x_n) = 2x_n = \frac{2n + 2}{n}\)

Tính và rút gọn \(f(x_n)\) suy ra đáp số, chú ý \(x_n = \frac{n + 1}{n}\).

\(f(x_n) = \frac{2x_n^2 – 2x_n}{x_n – 1} = \frac{2x_n(x_n – 1)}{x_n – 1} = 2x_n\)

\(x_n = \frac{n + 1}{n} ⇒ f(x_n) = 2x_n = 2.\frac{n + 1}{n} = \frac{2n + 2}{n}\)

Câu b: Tìm giới hạn của dãy số \((f(x_n))\).

Xét giới hạn \(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}(f(x_n) – 2)\) và suy ra đáp số.

\(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}(f(x_n) – 2) = \mathop {\lim}\limits_{n → +∞}(\frac{2n + 2}{n} – 2) = \mathop {\lim}\limits_{n → +∞}\frac{2}{n}\)

Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}\frac{2}{n} = 0 ⇒ \mathop {\lim}\limits_{n → +∞}(f(x_n) – 2) = 0 ⇒ \mathop {\lim}\limits_{n → +∞}f(x_n) = 2\)

2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì \((x_n), x_n ≠ 1\) và \(x_n → 1\), ta luôn có \(f(x_n) → 2\).

(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số \(f(x) = \frac{2x^2 – 2x}{x – 1}\) có giới hạn là 2 khi x dần tới 1).

Phương pháp giải: Tính \(limf(x_n)\) dựa vào công thức có được ở phần 1a.

Giải: \(limf(x_n) = lim2x_n = 2limx_n = 2.1 = 2\)

Dưới đây, thay cho các khoảng (a; b), (-∞; b), (a; +∞) hoặc (-∞; +∞), ta viết chung là khoảng K.

Định nghĩa 1:

Cho khoảng K chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên K hoặc trên \(K \setminus \{x_0\}\).

Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là số L khi x dần tới \(x_0\) nếu với dãy số \((x_0)\) bất kì, \(x_n ∈ K \ {x_0}\) và \(x_n → x_0\), ta có \(f(x_n) → L\).

Kí hiệu: \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}f(x) = L\) hay \(f(x) → L\) khi \(x → x_0\).

Ví dụ 1: Cho hàm số \(f(x) = \frac{x^2 – 4}{x + 2}\). Chứng minh rằng \(\mathop {\lim}\limits_{x → -2}f(x) = -4\).

Giải: Hàm số đã cho xác định trên R \ {-2}

Giả sử \((x_n)\) là một dãy số bất kì, thỏa mãn \(x_n ≠ -2\) và \(x_n → -2\) khi \(n → +∞\).

Ta có:

\(limf(x_n) = lim\frac{x^2_n – 4}{x_n + 2} = lim\frac{(x_n + 2)(x_n – 2)}{(x_n + 2)} = lim(x_n – 2) = -4\).

Do đó \(\mathop {\lim}\limits_{x → -2}f(x) = -4\)

(Lưu ý rằng, mặc dù \(f(x)\) không xác định tại \(x = -2\), nhưng hàm số lại có giới hạn là -4 khi \(x → -2\)).

Nhận xét: \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}x = x_0; \mathop {\lim}\limits_{x → x_0}c = c\), với c là hằng số.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Ta thừa nhận định lí sau đây.

Định lí

a. Giả sử \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}f(x) = L \mathop {\lim}\limits_{x → x_0}g(x) = M\). Khi đó

– \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}[f(x) + g(x)] = L + M\)

– \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}[f(x) – g(x)] = L – M\)

– \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}[f(x).g(x)] = L.M\)

– \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}\) (nếu M ≠ 0).

b. Nếu \(f(x) ≥ 0\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}f(x) = L\), thì \(L ≥ 0\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}\sqrt{f(x)} = \sqrt{L}\)

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với \(x ≠ x_0\))

Ví dụ 2: Cho hàm số \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{2\sqrt{x}}\). Tìm \(\mathop {\lim}\limits_{x → 3}f(x)\)

Giải: Theo định lí 1 ta có

\(\mathop {\lim}\limits_{x → 3}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → 3}\frac{x^2 + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{\mathop {\lim}\limits_{x → 3}(x^2 + 1)}{\mathop {\lim}\limits_{x → 3}2\sqrt{x}}\)

\(= \frac{\mathop {\lim}\limits_{x → 3}x^2 + \mathop {\lim}\limits_{x → 3}1}{\mathop {\lim}\limits_{x → 3}2.\mathop {\lim}\limits_{x → 3}\sqrt{x}} = \frac{\mathop {\lim}\limits_{x → 3}x.\mathop {\lim}\limits_{x → 3}x + \mathop {\lim}\limits_{x → 3}1}{\mathop {\lim}\limits_{x → 3}2.\sqrt{\mathop {\lim}\limits_{x → 3}x}} = \frac{3.3 + 1}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}\)

Ví dụ 3: Tính \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1}\frac{x^2 + x – 2}{x – 1}\)

Giải: Vì \((x – 1) → 0\) khi \(x → 1\), nên ta chưa thể áp dụng đinh lí 1 nêu trên.

Nhưng với x ≠ 1 ta có \(\frac{x^2 + x – 2}{x – 1} = \frac{(x – 1)(x + 2)}{x – 1} = x + 2\)

Do đó, \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1}\frac{x^2 + x – 2}{x – 1} = \mathop {\lim}\limits_{x → 1}\frac{(x – 1)(x + 2)}{x – 1} = \mathop {\lim}\limits_{x → 1}(x + 2) = 3\)

3. Giới hạn một bên

Trong định nghĩa 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi \(x → x_0\), ta xét dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n ∈ (a; b)\setminus\{x_0\}\) và \(x_n → x_0\). Giá trị \(x_n\) có thể lớn hơn hay nhỏ hơn \(x_0\).

Nếu ta chỉ xét các dãy \((x_n)\) mà \(x_n\) luôn lớn hơn \(x_0\) (hay luôn nhỏ hơn \(x_0\)), thì ta có định nghĩa giới hạn một bên như dưới đây.

Định nghĩa 2

– Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((x_0; b)\)

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x → x_0\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_0 < x_n < b\) và \(x_n → x_0\), ta có \(f(x_n) → L\).

Kí hiệu: \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0^+}f(x) = L\)

– Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; x_0)\).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x → x_0\) nếu với dáy số \((x_n)\) bất kì, \(a < x_n < x_0\) và \(x_n → x_0\), ta có \(f(x_n) → L\).

Kí hiệu: \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0^-}f(x) = L\).

Ta thừa nhận định lí sau đây.

Định lí 2: \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}f(x) = L\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0^-}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → x_0^+} = \mathop {\lim}\limits_{x → x_0^+}f(x) = L\).

Ví dụ 4: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases}5x + 2 \, \,nếu \, \,x ≥ 1 (1)\\x^2 – 3\, \, nếu \, \,x < 1 (2)\end{cases}\)

Tìm \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}f(x), \mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}f(x)\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1}f(x)\) (nếu có).

Giải: Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}(x^2 – 3) = 1^2 – 3 = -2;
\mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}(5x + 2) = 5.1 + 2 = 7\)

Như vậy, khi x dần tới 1 hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn bên trái là -2 và giới hạn bên phải là 7. Tuy nhiên, \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1}f(x)\) không tồn tại vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}f(x) ≠ \mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}f(x).\)

Câu hỏi 2 bài 2 trang 127 SGK đại số & giải tích lớp 11: Trong biểu thức (1) xác định hàm số \(y = f(x)\) ở Ví dụ 4, cần thay số 2 bằng số nào để hàm số có giới hạn là -2 khi \(x → 1\)?

Phương pháp giải: Để hàm số có giới hạn bằng -2 tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}f(x) = -2\).

Giải:

Để hàm số có giới hạn bằng -2 tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}f(x) = -2\) hay \(5.1 + c = -2 ⇔ x = -7\).

Vậy cần thay bằng -7 để hàm số có giới hạn bằng -2 tại \(x = 1\).

II. Giới Hạn Hữu Của Hàm Số Tại Vô Cực

Câu hỏi 3 bài 2 trang 127 SGK đại số & giải tích lớp 11: Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{x – 2}\) có đồ thị như ở hình 52.

Quan sát đồ thị và cho biết:

– Khi biến x dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào.

– Khi biến x dần tới âm vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào.

Giải:

– Khi biến x dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới giá trị dương vô cực.

– Khi biến x dần tới âm vô cực, thì f(x) dần tới giá trị âm vô cực.

Định nghĩa 3

a. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +∞)\).

Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x → +∞\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n > a\) và \(x_n → +∞\), ta có \(f(x_n) → L\).

Kí hiệu: \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}f(x) = L\) hay \(f(x) → L\) khi \(x → +∞\).

b. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((-∞; a)\)

Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x → -∞\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n < a\) và \(x_n → -∞\), ta có \(f(x_n) → L\).

Kí hiệu: \(\mathop {\lim}\limits_{x → −∞}f(x) = L\) hay \(f(x) → L\) khi \(x → -∞\).

Ví dụ 5: Cho hàm số \(f(x) = \frac{2x + 3}{x – 1}\). Tìm \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}f(x)\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}f(x)\).

Giải: Hàm số đã cho xác định trên \((-∞; 1)\) và trên \((1; +∞)\).

– Giả sử \((x_n)\) là một dãy số bất kì, thỏa mãn \(x_n < 1\) và \(x_n → -∞\).

Ta có \(limf(x_n) = lim\frac{2x_n + 3}{x_n – 1} = lim\frac{2 + \frac{3}{x_n}}{1 – \frac{1}{x_n}} = 2\)

Vậy \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{2x + 3}{x – 1} = 2\)

– Giả sử \((x_n)\) là một dãy số bất kì, thỏa mãn \(x_n > 1\) và \(x_n → +∞\).

Ta có \(limf(x_n) = lim\frac{2x_n + 3}{x_n – 1} = lim\frac{2 + \frac{3}{x_n}}{1 – \frac{1}{x_n}} = 2\)

Vậy \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{2x + 3}{x – 1} = 2\)

Chú ý:

a. Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

\(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}c = c; \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}c = c; \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{c}{x^k} = 0; \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{c}{x^k} = 0\)

b. Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi \(x → x_0\) vẫn còn đúng khi \(x → +∞\) hoặc \(x → -∞\).

Ví dụ 6: Tìm \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{3x^2 – 2x}{x^2 + 1}\)

Giải: Chia cả tử và mẫu cho \(x^2\), ta có

\(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{3x^2 – 2x}{x^2 + 1} = \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{3 – \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}(3 – \frac{2}{x})}{\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}(1 + \frac{1}{x^2})} = \frac{\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}3 – \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{2}{x}}{\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}1 + \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{1}{x^2}} = \frac{3 – 0}{1 + 0} = 3\)

III. Giới Hạn Vô Cực Của Hàm Số

1. Giới hạn vô cực

Các định nghĩa về giới hạn \(+∞\) (hoặc \(-∞\)) của hàm số được phát biểu tương tự các định nghĩa 1, 2 hay 3 ở trên.

Chẳng hạn, giới hạn -∞ của hàm số \(y = f(x)\) khi x dân tới dương vô cực được định nghĩa như dưới đây.

Định nghĩa 4:

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +∞)\).

Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là -∞ khi \(x → +∞\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n > a\) và \(x_n → +∞\), ta có \(f(x_n) → -∞\).

Kí hiệu: \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}f(x) = -∞\) hay \(f(x) → -∞\) khi \(x → +∞\).

Nhận xét: \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}f(x) = +∞ ⇔ \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}(-f(x)) = -∞\).

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a. \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}x^k = +∞\) với k nguyên dương.

b. \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}x^k = -∞\) nếu k là số lẻ.

c. \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}x^k = +∞\) nếu k là số chẵn.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

Định lí về giới hạn của tích và thương hai hàm số chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn.

Sau đây là một vài quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.

a. Quy tác tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

Nếu \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}f(x) = L ≠ 0\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}g(x) = +∞\) (hoặc \(-∞\)) thì \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}f(x)g(x)\) được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:

b. Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\frac{f(x)}{g(x)}\)

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với \(x ≠ x_0\)).

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp \(x → x_0^+, x → x_0^-, x → +∞\) và \(x → -∞\).

Ví dụ 7. Tìm \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}(x^3 – 2x)\).

Giải: Ta có \((x^3 – 2x) = x^3(1 – \frac{2}{x^2})\).

Vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}x^3 = -∞\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}(1 – \frac{2}{x^2}) = 1 > 0\) nên \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}x^3(1 – \frac{2}{x^2}) = -∞\).

Vậy \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}(x^3 – 2x) = \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}x^3(1 – \frac{2}{x^2}) = -∞\)

Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau:

a. \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}\frac{2x – 3}{x – 1}\)

b. \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}\frac{2x – 3}{x – 1}\)

Giải:

a. Ta có \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}(x – 1) = 0, x – 1 < 0\) với mọi \(x < 1\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}(2x – 3) = 2.1 – 3 = -1 < 0\)

Do đó, \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}(x – 1) = 0, x – 1 > 0\) với mọi \(x > 1\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}(2x – 3) = 2.1 – 3 = -1 < 0\)

Do đó, \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}\frac{2x – 3}{x – 1} = +∞\).

b. Ta có \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}(x – 1) = 0, x – 1 > 0\) với mọi \(x > 1\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}(2x – 3) = 2.1 – 3 = -1 < 0\).

Do đó, \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}\frac{2x – 3}{x – 1} = -∞\).

Bài Tập SGK Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số

Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số thuộc Chương IV: Giới Hạn môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.

Bài Tập 1 Trang 132 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a. \(\)\(\mathop {\lim}\limits_{x → 4}\frac{x + 1}{3x – 2}\)

b. \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{2 – 5x^2}{x^2 + 3}\)

Bài Tập 2 Trang 132 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases}\sqrt{x} + 1 \, \, nếu \, \, x ≥ 0\\2x \, \, nếu \, \, x < 0\end{cases}\) và các dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{1}{n}, (v_n)\) với \(v_n = -\frac{1}{n}\).

Tính \(limu_n, limv_n, limf(u_n)\) và \(limf(v_n)\).

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \(x → 0\)?

Bài Tập 3 Trang 132 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Tính các giới hạn sau:

a. \(\mathop {\lim}\limits_{x → -3}\frac{x^2 – 1}{x + 1}\)

b. \(\mathop {\lim}\limits_{x → -2}\frac{4 – x^2}{x + 2}\)

c. \(\mathop {\lim}\limits_{x → 6}\frac{\sqrt{x + 3} – 3}{x – 6}\)

d. \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{2x – 6}{4 – x}\)

e. \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{17}{x^2 + 1}\)

f. \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{-2x^2 + x – 1}{3 + x}\)

Bài Tập 4 Trang 132 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Tìm các giới hạn sau:

a. \(\mathop {\lim}\limits_{x → 2}\frac{3x – 5}{(x – 2)^2}\)

b. \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}\frac{2x – 7}{x – 1}\)

c. \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}\frac{2x – 7}{x – 1}\)

Bài Tập 5 Trang 133 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Cho hàm số \(f(x) = \frac{x + 2}{x^2 – 9}\) có đồ thị như trên hình 53.

a. Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x → -∞, x → 3^-\) và \(x → -3^+\).

b. Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

\(\mathop {\lim}\limits_{x → −∞}f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-∞; -3)\)

\(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\)

\(\mathop {\lim}\limits_{x → -3^+}\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\)

Bài Tập 6 Trang 133 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Tính:

a. \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}(x^4 – x^2 + x – 1)\)

b. \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}(-2x^3 + 3x^2 – 5)\)

c. \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\sqrt{x^2 – 2x + 5}\)

d. \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{5 – 2x}\)

Bài Tập 7 Trang 133 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A’B’ của nó tới quan tâm O của thấu kinh (hình 54). Công thức thấu kính là \(\frac{1}{d} + \frac{1}{d’} = \frac{1}{f}\).

a. Tìm biểu thức xác định hàm số \(d’ = φ(d)\).

b. Tìm \(\mathop {\lim}\limits_{d → f^+}φ(d), \mathop {\lim}\limits_{d → f^-}φ(d)\) và \(\mathop {\lim}\limits_{d → +∞}φ(d)\). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.

---

Ở trên là nội dung Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số thuộc Chương IV: Giới Hạn môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Bài học sẽ giới thiệu đến các bạn khái niệm Giới hạn của hàm số. Bên cạnh đó là các dạng bài toán tính giới hạn của hàm số cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các bạn dễ dàng nắm được nội dung bài học. Chúc các bạn học tốt toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.