Ôn Tập Cuối Năm – Hình Học Lớp 12
Giải Bài Tập Ôn Tập Cuối Năm Hình Học 12
Bài Tập 14 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
Trong không gian cho ba điểm \(A, B, C\).
a. Xác định điểm \(G\) sao cho \(\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} – 2\overrightarrow {GC} = 0.\)
b. Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MA^2 + 2MB^2 – 2MC^2 = k^2\), với \(k\) là hằng số.
Lời Giải Bài 14: Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
b. Sử dụng công thức ba điểm, chèn điểm G vào tất cả các vectơ \(\vec{MA}; \vec{MB}; \vec{MC}\), biến đổi và kết luận.
Giải:
Câu a: Ta có: \(\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} – 2\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)
\(⇔ \overrightarrow{GA} + 2(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) – 2(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}\)
\(⇔ \overrightarrow{GA} + 2(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}\)
\(⇔ \overrightarrow{GA} = -2 (\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC})\)
\(⇔ \overrightarrow{AG} = 2(\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC})\)
\(⇔ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow2{CB}\)
Điểm G xác định bởi hệ thức \(\overrightarrow{AG} = \overrightarrow2{CB}\) Qua đỉnh A của △ABC, ta kẻ đường song song với CB và lấy trên đó điểm G sao cho AG = 2CB.
Câu b: Ta có:
\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}\)
\(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{BG}\)
\(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} \overrightarrow{GC}\)
Thay thế vào biểu thức \(MA^{2} + 2MB^{2} – 2MC^{2} = k^{2}\).
Khai triển và rút gọn ta được:
\(MG^{2} = k^{2} – (GA^{2} + 2GB^{2} – 2GC^{2}) – kđ \Rightarrow MG = kđ\)
Nếu \(k^{2} < GA^{2} + GB^{2} – 2GC^{2} \Rightarrow\) Tập hợp M là tập hợp rỗng
Nếu \(k^{2} = GA^{2} + GB^{2} – 2GC^{2} \Rightarrow\) Tập hợp M là là điểm G
Nếu \(k^{2} > GA^{2} + GB^{2} – 2GC^{2} \Rightarrow\) Tập hợp M là đường tròn tâm G.
\(R= \sqrt{k^{2} – (GA^{2} + GB^{2} – 2GC^{2})}\)
Cách giải khác
Câu a: \(\vec{GA} + 2\vec{GB} – 2\vec{GC} = \vec{0}\)
\(⇔ \vec{GA} + 2(\vec{GB} – \vec{GC}) = \vec{0}\)
\(⇔ \vec{GA} + 2\vec{CB} = 0\)
\(⇔ \vec{GA} = 2\vec{BC}\)
Gọi D là điểm mà \(\vec{DC} = 2\vec{BC}\) tức là điểm B là trung điểm của \(CD ⇒ \vec{GA} = \vec{DC}\)
Vậy G là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACDG
Câu b: Gọi G là điểm trong câu a: \(\vec{GA} + 2\vec{GB} – 2\vec{GC} = \vec{0}\)
Ta có: \(MA^2 = \vec{MA}^2 + (\vec{MG} + \vec{GA})^2\)
\(= MG^2 + GA^2 + 2\vec{MG}.\vec{GA}\)
\(MB^2 = \vec{MB}^2 = (\vec{MG} + \vec{GB})^2\)
\(= MG^2 + GB^2 + 2\vec{MG}.\vec{GB}\)
\(MC^2 = \vec{MC}^2 = (\vec{MG} + \vec{GC})^2\)
\(= MG^2 + GC^2 + 2\vec{MG}.\vec{GC}\)
Từ đó \(MA^2 + 2MB^2 – 2MC^2 = k^2\)
\(⇔ MG^2 + GA^2 + 2GB^2 – 2GC^2 + 2\vec{MG}(\vec{GA} + 2\vec{GB} – 2\vec{GC}) = k^2\)
\(⇔ MG^2 + GA^2 + 2GB^2 – 2GC^2 + 2\vec{MG}(\vec{GA} + 2\vec{GB} – 2\vec{GC}) = k^2\)
\(⇔ MG^2 = k^2 – (GA^2 + 2GB^2 – 2GC^2)\)
(Vì \(\vec{GA} + 2\vec{GB} – 2\vec{GC} = \vec{0})\)
Do vậy:
Nếu \(k^2 – (GA^2 + 2GB^2 – 2GC^2) = r^2 > 0\) thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.
Nếu \(k^2 – (GA^2 + 2GB^2 – 2GC^2) = r^2 = 0\) thì tập hợp M chính là điểm G.
Nếu \(k^2 – (GA^2 + 2GB^2 – 2GC^2) = r^2 < 0\) thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.
Hướng dẫn làm bài tập 14 trang 101 sgk hình học 12 ôn tập cuối năm. Bài yêu cầu giải hai câu hỏi trong sách giáo khoa.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6: Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7: Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 15 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 102 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời