Bài Tập 14 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12

Ôn Tập Cuối Năm – Hình Học Lớp 12

Giải Bài Tập Ôn Tập Cuối Năm Hình Học 12

Bài Tập 14 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12

Trong không gian cho ba điểm \(A, B, C\).

a. Xác định điểm \(G\) sao cho \(\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} – 2\overrightarrow {GC} = 0.\)

b. Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MA^2 + 2MB^2 – 2MC^2 = k^2\), với \(k\) là hằng số.

Lời Giải Bài 14: Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12

Giải:

Câu a: Ta có: \(\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} – 2\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)

\(⇔ \overrightarrow{GA} + 2(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) – 2(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}\)

\(⇔ \overrightarrow{GA} + 2(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}\)

\(⇔ \overrightarrow{GA} = -2 (\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC})\)

\(⇔ \overrightarrow{AG} = 2(\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC})\)

\(⇔ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow2{CB}\)

Điểm G xác định bởi hệ thức \(\overrightarrow{AG} = \overrightarrow2{CB}\) Qua đỉnh A của △ABC, ta kẻ đường song song với CB và lấy trên đó điểm G sao cho AG = 2CB.

Câu b: Ta có:

\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}\)

\(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{BG}\)

\(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} \overrightarrow{GC}\)

Thay thế vào biểu thức \(MA^{2} + 2MB^{2} – 2MC^{2} = k^{2}\).

Khai triển và rút gọn ta được:

\(MG^{2} = k^{2} – (GA^{2} + 2GB^{2} – 2GC^{2}) – kđ \Rightarrow MG = kđ\)

Nếu \(k^{2} < GA^{2} + GB^{2} – 2GC^{2} \Rightarrow\) Tập hợp M là tập hợp rỗng

Nếu \(k^{2} = GA^{2} + GB^{2} – 2GC^{2} \Rightarrow\) Tập hợp M là là điểm G

Nếu \(k^{2} > GA^{2} + GB^{2} – 2GC^{2} \Rightarrow\) Tập hợp M là đường tròn tâm G.

\(R= \sqrt{k^{2} – (GA^{2} + GB^{2} – 2GC^{2})}\)

Cách giải khác

Câu a: \(\vec{GA} + 2\vec{GB} – 2\vec{GC} = \vec{0}\)

\(⇔ \vec{GA} + 2(\vec{GB} – \vec{GC}) = \vec{0}\)

\(⇔ \vec{GA} + 2\vec{CB} = 0\)

\(⇔ \vec{GA} = 2\vec{BC}\)

Gọi D là điểm mà \(\vec{DC} = 2\vec{BC}\) tức là điểm B là trung điểm của \(CD ⇒ \vec{GA} = \vec{DC}\)

Vậy G là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACDG

Câu b: Gọi G là điểm trong câu a: \(\vec{GA} + 2\vec{GB} – 2\vec{GC} = \vec{0}\)

Ta có: \(MA^2 = \vec{MA}^2 + (\vec{MG} + \vec{GA})^2\)

\(= MG^2 + GA^2 + 2\vec{MG}.\vec{GA}\)

\(MB^2 = \vec{MB}^2 = (\vec{MG} + \vec{GB})^2\)

\(= MG^2 + GB^2 + 2\vec{MG}.\vec{GB}\)

\(MC^2 = \vec{MC}^2 = (\vec{MG} + \vec{GC})^2\)

\(= MG^2 + GC^2 + 2\vec{MG}.\vec{GC}\)

Từ đó \(MA^2 + 2MB^2 – 2MC^2 = k^2\)

\(⇔ MG^2 + GA^2 + 2GB^2 – 2GC^2 + 2\vec{MG}(\vec{GA} + 2\vec{GB} – 2\vec{GC}) = k^2\)

\(⇔ MG^2 + GA^2 + 2GB^2 – 2GC^2 + 2\vec{MG}(\vec{GA} + 2\vec{GB} – 2\vec{GC}) = k^2\)

\(⇔ MG^2 = k^2 – (GA^2 + 2GB^2 – 2GC^2)\)

(Vì \(\vec{GA} + 2\vec{GB} – 2\vec{GC} = \vec{0})\)

Do vậy:

Nếu \(k^2 – (GA^2 + 2GB^2 – 2GC^2) = r^2 > 0\) thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.

Nếu \(k^2 – (GA^2 + 2GB^2 – 2GC^2) = r^2 = 0\) thì tập hợp M chính là điểm G.

Nếu \(k^2 – (GA^2 + 2GB^2 – 2GC^2) = r^2 < 0\) thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.

Hướng dẫn làm bài tập 14 trang 101 sgk hình học 12 ôn tập cuối năm. Bài yêu cầu giải hai câu hỏi trong sách giáo khoa.