Mục Lục Bài Viết
Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11
Bài 1: Vectơ Trong Không Gian
Ở lớp 10 chúng ta đã được học về vectơ trong mặt phẳng. Những kiến thức có liên quan đến vectơ đã giúp chúng ta làm quen với phương pháp dùng vectơ và dùng toạ độ để nghiên cứu hình học phẳng. Chúng ta biết rằng tập hợp các vectơ nằm trong mặt phẳng nào đó là một bộ phận của tập hợp các vectơ trong không gian. Do đó định nghĩa vectơ trong không gian cùng với một số nội dung có liên quan đến vectơ như độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, giá của vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ và các quy tắc thực hiện các phép toán về vectơ được xây dựng và xác định hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Tất nhiên trong không gian, chúng ta sẽ gặp những vấn đề mới về vectơ như việc xét sự đồng phẳng hoặc không đồng phắng của ba vectơ hoặc việc phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng. Những nội dung này sẽ được xét đến trong các phần tiếp theo sau đây.
I. Định Nghĩa Và Các Phép Toán Về Vectơ Trong Không Gian
Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vectơ, được kí hiệu là \(\)\(\overrightarrow{AB}\).
1. Định nghĩa
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu \(\overrightarrow{AB}\) chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y},…\)
Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
Câu hỏi 1 bài 1 trang 85 SGK hình học lớp 11: Cho hình tứ diện \(ABCD\). Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện. Các vectơ đó có cùng nằm trong một mặt phẳng không?
Giải:
Các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các điểm còn lại của hình tứ diện là: \(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AD}\).
Các vectơ đó không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Câu hỏi 2 bài 1 trang 85 SGK hình học lớp 11: Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\).
Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ \(\overrightarrow{AB}\).
Giải:
Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là: \(\overrightarrow{DC}; \overrightarrow{A’B’}; \overrightarrow{D’C’}\).
2. Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian
Phép cộng và phép trừ hai vectơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vectơ trong mặt phẳng. Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong hình học phẳng.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\).
Giải: Theo quy tắc ba điểm ta có:
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}\) (Hình 3.1)
Do đó: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD}\)
\(= \overrightarrow{AD} + (\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC})\)
\(= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\)
Câu hỏi 3 bài 1 trang 86 SGK hình học lớp 11: Cho hình hộp \(ABCD.EFGH\). Hãy thực hiện các phép toán sau đây (hình 3.2):
a. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GH}\)
b. \(\overrightarrow{BE} – \overrightarrow{CH}\)
Giải:
Sử dụng các quan hệ véc tơ bằng nhau, đối nhau để tính toán.
Câu a: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GH}\)
\(AB = CD ⇒ \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}\)
\(EF = GH ⇒ \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{EF}\)
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GH}\)
\(= \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EF} – \overrightarrow{EF}\)
\(= \vec{0} – \vec{0} = \vec{0}\)
Câu b: \(\overrightarrow{BE} – \overrightarrow{CH}\)
Tứ giác BCHE có BC = EH và BC // EH nên là hình bình hành.
\(⇒ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CH} ⇒ \overrightarrow{BE} – \overrightarrow{CH} = \vec{0}\)
Quy tắc hình hộp
Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là \(AB, AD, AA’\) và có đường chéo là \(AC’\). Khi đó ta có quy tắc hình hộp là:
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{AC’}\) (Hình 3.3)
Quy tắc này được suy ra từ quy tắc hình bình hành trong hình học phẳng.
3. Phép nhân vectơ với một số
Trong không gian, tích của vectơ \(\vec{a}\) với một số k ≠ 0 là vectơ \(k\vec{a}\) được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong mặt phẳng.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng:
a. \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC})\)
b. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}\)
Giải:
Câu a: Ta có \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}\) và \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CN}\) (Hình 3.4)
Do đó: \(2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN}\)
Vì M là trung điểm của đoạn AD nên \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} = \vec{0}\) và N là trung điểm của đoạn BC nên \(\overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN} = \vec{0}\).
Do đó \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC})\)
Câu b: Ta có: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB}\)
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC}\)
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GD}\)
Suy ra \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}\)
Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}\).
Do đó ta suy ra \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}\)
Câu hỏi 4 bài 1 trang 87 SGK hình học lớp 11: Trong không gian cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) đều khác vectơ – không. Hãy xác định các vectơ \(\vec{m} = 2\vec{a}, \vec{n} = -3\vec{b}\) và \(\vec{p} = \vec{m} + \vec{n}\).
Giải:
– Vẽ các vectơ \(\vec{a}, \vec{b}\) bất kì.
– Chọn một điểm làm gốc, lần lượt dựng hai vectơ \(\vec{m}; \vec{n}\).
– Sử dụng quy tắc hình bình hành dựng vectơ \(\vec{p}\).
II. Điều Kiện Đồng Phẳng Của Ba Vectơ
1. Khái niệm về sự động phẳng của ba vectơ trong không gian
Trong không gian cho ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) đều khác vectơ – không. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}\) thì có thể xảy ra hai trường hợp:
- Trong trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) không đồng phẳng (Hình 3.5a).
- Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) đồng phẳng (Hình 3.5b).
Trong trường hợp này giá của các vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) luôn luôn song song với một mặt phẳng.
Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.
Từ đó ta có định nghĩa sau đây:
2. Định nghĩa
Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng (Hình 3.6).
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{MN}\) đồng phẳng.
Giải:
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AC và BD (Hình 3.7). Ta có PN song song với MQ và \(PN = MQ = \frac{1}{2}AD\). Vậy tứ giác MPNQ là hình bình hành. Mặt phẳng (MPNQ) chứa đường thẳng MN và song song với các đường thẳng AD và BC.
Ta suy ra ba đường thẳng MN, AD, BC cùng song song với một mặt phẳng. Do đó ba vectơ \(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{AD}\) đồng phẳng.
Câu hỏi 5 bài 1 trang 89 SGK hình học lớp 11: Cho hình hộp \(ABCD.EFGH\). Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Chứng minh rằng các đường thẳng IK và ED song song với mặt phẳng (AFC). Từ đó suy ra ba vectơ \(\overrightarrow{AF}, \overrightarrow{IK}, \overrightarrow{ED}\) đồng phẳng.
Giải:
Ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC ⇒ IK là đường trung bình của ΔABC nên IK // AC ⊂ (ACF) ⇒ IK // (ACF).
Hình hộp ABCD.EFGH nên (ADHE) // (BCGF)
⇒ FC // ED (là đường chéo trong các hình bình hành BCGF và ADHE)
Nên ED // (AFC)
Ngoài ra AF ⊂ (ACF)
⇒ Ba vectơ \(\overrightarrow{AF}; \overrightarrow{IK}; \overrightarrow{ED}\) đồng phẳng (vì giá của chúng song song với một mặt phẳng, có thể chọn một mặt phẳng bất kì song song với (ACF)).
3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về sự phân tích (hay biểu thị) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng chúng ta có thể chứng minh được định lý sau đây:
Đinh lý 1: Trong không gian cho hai vectơ \(\vec{a}, \vec{b}\) không cùng phương và vectơ \(\vec{c}\). Khi đó ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho \(\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}\). Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.
Câu hỏi 6 bài 1 trang 89 SGK hình học lớp 11: Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) đều khác \(\vec{0}\). Hãy xác định vectơ \(\vec{c} = 2\vec{a} – \vec{b}\) và giải thích tại sao ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) đồng phẳng.
Giải:
– Dựng hai vectơ \(\vec{a}, \vec{b}\)
– Chọn một điểm làm gốc, vẽ hai véc tơ \(2\vec{a}; -\vec{b}\)
– Sử dụng quy tắc hình bình hành dựng vectơ \(\vec{c}\)
\(\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}\) đồng phẳng vì \(\vec{a}; \vec{b}\) không cùng phương và có cặp số (2; -1) sao cho: \(\vec{c} = 2\vec{a} – \vec{b}\).
Câu hỏi 7 bài 1 trang 89 SGK hình học lớp 11: Cho ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) trong không gian. Chứng minh rằng nếu \(m\vec{a} + n\vec{b} + p\vec{c} = \vec{0}\) và một trong ba số m, n, p khác không thì ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) đồng phẳng.
Giải:
Rút một véc tơ theo hai véc tơ còn lại và sử dụng nội dung định lý 1 để nhận xét.
Giả sử p ≠ 0 ta có:
\(m\vec{a} + n\vec{b} + p\vec{c} = \vec{0}\)
\(⇒ m\vec{a} + n\vec{b} = -p\vec{c}\)
\(\vec{c} = \frac{-m}{p}\vec{a} + \frac{-m}{p}\vec{b}\)
Do đó, ba vectơ \(\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}\) đồng phẳng theo định lí 1.
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho \(\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\). Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng thược một mặt phẳng.
Giải:
Ta có \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}\)
và \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}\) (hình 3.8)
Do đó \(2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\)
hay \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})\) (1)
Mặt khác vì \(\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\) nên \(\overrightarrow{AD} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{BQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\) nên \(\overrightarrow{BC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BQ}\)
Do đó từ (1) ta suy ra:
\(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}.\frac{3}{2}(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BQ}) = \frac{3}{4}(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MQ})\)
\(\overrightarrow{MN} = \frac{3}{4}(\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ}), vì \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \vec{0}\)
Hệ thức \(\overrightarrow{MN} = \frac{3}{4}\overrightarrow{MP} + \frac{3}{4}\overrightarrow{MQ}\) chứng tỏ ba vectơ \(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP}, \overrightarrow{MQ}\) đồng phẳng nên bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.
Định lí 1 cho ta phương pháp chứng minh sự đồng phẳng của ba vectơ thông qua việc biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.
Về việc biểu thị một vectơ bất kì theo ba vectơ không đồng phẳng trong không gian, người ta chứng minh được định lí sau đây.
Định lý 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\). Khi đó với mọi vectơ \(\vec{x}\) ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho \(\vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b} + p\vec{c}\). Ngoài ra, bộ ba số m, n, p là duy nhất (Hình 3.9)
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.EFGH có \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}, \overrightarrow{AD} = \vec{b}, \overrightarrow{AE} = \vec{c}\). Gọi I là trung điểm của đoạn BG. Hãy biểu thị vectơ \(\overrightarrow{AI}\) qua ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\).
Giải:
Vì I là trung điểm của đoạn BG nên ta có \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AG})\)
trong đó \(\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) (Hình 3.10)
Vậy \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\), suy ra
\(\overrightarrow{AI} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}\).
Bài Tập Bài 1: Vectơ Trong Không Gian
Hướng dẫn giải bài tập SGK Bài 1: Vectơ Trong Không Gian thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:
a. Cùng phương với \(\overrightarrow{IA}\)
b. Cùng hướng với \(\overrightarrow{IA}\)
c. Ngược hướng với \(\overrightarrow{IA}\)
Bài Tập 2 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:
a. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B’C’} + \overrightarrow{DD’} = \overrightarrow{AC’};\)
b. \(\overrightarrow{BD} – \overrightarrow{D’D} – \overrightarrow{B’D’} = \overrightarrow{BB’};\)
c. \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA’} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C’D} = \overrightarrow{0}.\)
Bài Tập 3 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}\).
Bài Tập 4 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trủng điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a. \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC});\)
b. \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}).\)
Bài Tập 5 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E, F sao cho:
a. \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD};\)
b. \(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AD}.\)
Bài Tập 6 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{DG}.\)
Bài Tập 7 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 11
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và P là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:
a. \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}\)
b. \(\overrightarrow{PI} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD})\)
Bài Tập 8 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có \(\overrightarrow{AA’} = \vec{a}, \overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{AC} = \vec{c}\). Hãy phân tích (hay biểu thị) các vectơ \(\overrightarrow{B’C}, \overrightarrow{BC’}\) qua các vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\).
Bài Tập 9 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow{MS} = -2\overrightarrow{MA}\) và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho \(\overrightarrow{NB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}\). Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{SC}\) đồng phẳng.
Bài Tập 10 Trang 92 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình hộp \(ABCD.EFGH\). Gọi K là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của BH và DF. Chứng minh ba vectơ \(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{KI}, \overrightarrow{FG}\) đồng phẳng.
Lời Kết
Trong phạm vi bài học này các em cần nắm một số kiến thức cơ bản sau đây. Và vận dụng để giải các bài tập trong sách giáo khoa:
– Các khái niệm cơ bản về Vectơ
– Các phương pháp chứng minh ba vectơ đồng phẳng.
Ở trên là nội dung Bài 1: Vectơ Trong Không Gian thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Hình Học Lớp 11. Giúp các bạn nắm được các khái niệm Vectơ trong không gian, phương pháp chứng minh ba vectơ đồng phẳng. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến vectơ trong không gian.
Trả lời