Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12
Bài 1: Hệ Tọa Độ Trong Không Gian
Ở lớp 10, các bạn học sinh đã từng học các dạng toán sử dụng hệ tọa độ trong mặt phẳng. Trong chương trình lớp 12, các nội dũng đã được học trước đó sẽ được kế thừa như một nền tảng để mở rộng ra không gian ba chiều là phương pháp tọa độ trong không gian. Và nội dung trong bài này sẽ xoay quanh các vấn đề như: tọa độ điểm, vectơ, phương trình, góc, khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian như đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu… Và trong bài viết này là lời giải bài tập hệ tọa độ trong không gian, qua bài này sẽ giúp các bạn học sinh hiều thêm về khái niệm và nắm bắt phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương pháp tọa độ trong không gian.
I. Tọa Độ Của Điểm Và Của VecTơ
1. Hệ tọa độ
Trong không gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz.
Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ Oxyz (Hình 3.1)
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
Vì \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:
\(\vec{i^2} = \vec{j^2} = \vec{k^2} = 1\) và \(\vec{i}.\vec{j} = \vec{j}.\vec{k} = \vec{k}.\vec{i} = 0\)
Câu hỏi 1 bài 1 trang 63 sgk hình học lớp 12: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M. Hãy phân tích vectơ \(\vec{OM}\) theo ba vectơ không đồng phẳng \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz.
Giải: \(\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\)
2. Tọa độ của một điểm
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vectơ \(\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\) không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho: \(\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\) (Hình 3.2)
Ngược lại với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thúc \(\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\).
Ta gọi bộ ba số (x; y; z) đó là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z)
3. Tọa độ của vectơ
Trong không gian Oxyz cho vectơ \(\vec{a}\), khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số \((a_1; a_2; a_3)\) sao cho: \(\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}\).
Ta gọi bộ ba số \((a_1; a_2; a_3)\) đó là tọa độ của vectơ \(\vec{a}\) đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) hoặc \(\vec{a}(a_1; a_2; a_3)\)
Nhận xét: Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ \(\vec{OM}\).
Ta có: \(M = (x; y; z) ⇔ \vec{OM} = (x; y; z)\)
Câu hỏi 2 bài 1 trang 64 sgk hình học lớp 12: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trung với gốc O, có \(\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA’}\) theo thứ tự cùng hướng với \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) và có AB = a, AD = b, AA’ = c. Hãy tính tọa độ các vectơ \(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AC’}\) và \(\vec{AM}\) với M là trung điểm của cạnh C’D’.
Giải: Vẽ hình, xác định tọa độ các véc tơ.
Từ hình vẽ trên ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), A'(0; 0; c).
Suy ra C(a; b; 0), D'(0; b; c), B'(a; 0; c), C'(a; b; c), \(M(\frac{a}{2}; b; c)\)
Vậy \(\vec{AB} = (a; 0; 0), \vec{AC} = (a; b; 0), \vec{AC’} = (a; b; c), \vec{AM} = (\frac{a}{2}; b; c)\)
II. Biểu Thức Tọa Độ Của Các Phép Toán Vectơ
Định lý: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\). Ta có:
a. \(\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3)\)
b. \(\vec{a} – \vec{b} = (a_1 – b_1; a_2 – b_2; a_3 – b_3)\)
c. \(k\vec{a} = k(a_1; a_2; a_3) = (ka_1; ka_2; ka_3)\)
với k là một số thực.
Chứng minh:
Theo giải thiết: \(\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}, \vec{b} = b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}\)
\(⇒ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1)\vec{i} + (a_2 + b_2)\vec{j} + (a_3 + b_3)\vec{k}\)
Vậy \(\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3)\)
Chứng minh tương tự cho trường hợp b) và c).
Hệ quả:
a. Cho hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\)
Ta có: \(\vec{a} = \vec{b} ⇔ a_1 = b_1; a_2 = b_2; a_3 = b_3\)
b. Vectơ \(\vec{0}\) có tọa độ là (0; 0; 0)
c. Với \(\vec{b} ≠ \vec{0}\) thì hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho: \(a_1 = kb_1, a_2 = kb_2, a_3 = kb_3\)
d. Trong không gian Oxyz, nếu cho hai điểm \(A(x_A; y_A; z_A)\), \(B(x_B; y_B; z_B)\) thì:
\(\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA} = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A)\)
III. Tích Vô Hướng
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Định lý: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\) được xác định bởi công thức: \(\vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)
Chứng minh:
\(\vec{a}.\vec{b} = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}).(b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k})\)
\(= a_1b_1\vec{i^2} + a_1b_2\vec{i}.\vec{j} + a_1b_3\vec{i}.\vec{k} + a_2b_1\vec{j}\vec{i} + a_2b_2\vec{j^2} + a_2b_3\vec{j}.\vec{k} + a_3b_1\vec{k}.\vec{i} + a_3b_2\vec{k}.\vec{j} + a_3b_3\vec{k^2}\)
Vì \(\vec{i^2} = \vec{j^2} = \vec{k^2} = 1\) và \(\vec{i}.\vec{j} = \vec{j}.\vec{k} = \vec{k}.\vec{i} = 0\) nên \(\vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)
2. Ứng dụng
a. Độ dài của một vectơ. Cho vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\). Ta biết rằng \(|\vec{a}|^2 = \vec{a^2}\) hay \(|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a^2}}\)
Do đó \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)
b. Khoảng cách giữa hai điểm. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A(x_A; y_A; z_A)\) và \(B(x_B; y_B; z_B)\). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vectơ \(\vec{AB}\). Do đó ta có:
\(AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}\)
c. Góc giữa hai vectơ. Nếu φ là góc giữa hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\) với \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) khác \(\vec{0}\) thì \(cosφ = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}\). Do đó:
\(cosφ = cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.\sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}\)
Từ đó ta suy ra \(\vec{a} ⊥ \vec{b} ⇔ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0\)
Câu hỏi 3 bài 1 trang 66 sgk hình học lớp 12: Với hệ tọa độ Oxyz trong không gian, cho \(\vec{a} = (3; 0; 1), \vec{b} = (1; -1; -2), \vec{c} = (2; 1; -1)\). Hãy tính \(\vec{a}.(\vec{b} + \vec{c})\) và \(|\vec{a} + \vec{b}|\).
Giải: Sử dụng các công thức cộng, nhân vô hướng hai véc tơ và công thức tính độ dài véc tơ.
Ta có: \(\vec{b} + \vec{c} = (1 + 2; -1 + 1; (-2) + (-1)) = (3; 0; -3) ⇒ \vec{a}.(\vec{b} + \vec{c}) = 3.3 + 0.0 + 1.(-3) = 6\)
\(\vec{a} + \vec{b} = (3 + 1; 0 + (-1); 1 + (-2)) = (4; -1; -1) ⇒ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-1) + (-1)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
IV. Phương Trình Mặt Cầu
Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là: \((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = r^2\)
Chứng minh:
Gọi M(x; y; z) là một điểm thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r.
Khi đó: \(M ∈ (S) ⇔ |\vec{IM}| = r\)
\(⇔ \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2} = r\)
\(⇔ (x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = r^2\)
Do đó \((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = r^2\) là phương trình của mặt cầu (S).
Câu hỏi 4 bài 1 trang 67 sgk hình học lớp 12: Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; -2; 3) có bán kính r = 5.
Giải: Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) vá bán kính R có phương trình \((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2\)
Phương trình mặt cầu là: \((x – 1)^2 + (y + 2)^2 + (z – 3)^2 = 5^2 = 25\)
Nhận xét: Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:
\(x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0\) với \(d = a^2 + b^2 + c^2 – r^2\)
Từ đó người ta chứng minh được rằng phương trình dạng \(x^2 + y^2 + z^2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\) với điều kiện \(A^2 + B^2 + C^2 – D > 0\) là phương trình của mặt cầu tâm I = (-A; -B; -C) có bán kính \(r = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2 – D}\)
Ví dụ: Xác định tâm vá bán kính của mặt cầu có phương trình: \(x^2 + y^2 + z^2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0\).
Giải: Phương trình mặt cầu đã cho tương đương với phương trình sau: \((x + 2)^2 + (y – 1)^2 + (z + 3)^2 = 3^2\)
Vậy mặt cầu đã cho có tâm I = (-2; 1; -3), bán kính r = 3.
Bài Tập SGK Bài 1 Hệ Tọa Độ Trong Không Gian
Hướng dẫn các bạn giải bài tập sgk bài 1 hệ tọa độ trong không gian chương 3 hình học lớp 12. Bài giúp các bạn tìm hiểu toạ độ của điểm và của vectơ, biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ, tích vô hướng, phương trình mặt cầu.
Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.
Bài Tập 1 Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Cho ba vectơ \(\)\(\vec{a} = (2; -5; 3), \vec{b} = (0; 2; -1), \vec{c} = (1; 7; 2)\).
a. Tính tọa độ của vectơ \(\vec{d} = 4.\vec{a} – \frac{1}{3}\vec{b} + 3\vec{c}\).
b. Tính tọa độ của vectơ \(\vec{e} = \vec{a} – 4\vec{b} – 2\vec{c}\).
Bài Tập 2 Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Cho ba điểm A = (1; -1; 1), B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1).
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài Tập 3 Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1), C’ = (4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài Tập 4 Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Tính:
a. \(\)\(\vec{a}.\vec{b}\) với \(\vec{a}(3; 0; -6)\), \(\vec{b}(2; -4; 0)\).
b. \(\vec{c}.\vec{d}\) với \(\vec{c}(1; -5; 2)\), \(\vec{d}(4; 3; -5)\).
Bài Tập 5 Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a. \(\)\(x^2 + y^2 + z^2 – 8x – 2y + 1 = 0\)
b. \(3x^2 + 3y^2 + 3z^2– 6x + 8y + 15z – 3 = 0\)
Bài Tập 6 Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a. Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b. Đi qua điểm A = (5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
Vừa rồi là lý thuyết bài 1 hệ tọa độ trong không gian chương 3 hình học 12. Qua bài học giúp các bạn tìm hiểu toạ độ của điểm và của vectơ, biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ, tích vô hướng, phương trình mặt cầu. Bạn thấy nội dung bài học này thế nào, để lại ý kiến đóng góp ngay bên dưới nhé.
Trả lời