Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học Lớp 12
Bài 1: Hệ Tọa Độ Trong Không Gian
Ở lớp 10, các bạn học sinh đã từng học các dạng toán sử dụng hệ tọa độ trong mặt phẳng. Trong chương trình lớp 12, các nội dũng đã được học trước đó sẽ được kế thừa như một nền tảng để mở rộng ra không gian ba chiều là phương pháp tọa độ trong không gian. Và nội dung trong bài này sẽ xoay quanh các vấn đề như: tọa độ điểm, vectơ, phương trình, góc, khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian như đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu… Và trong bài viết này là lời giải bài tập hệ tọa độ trong không gian, qua bài này sẽ giúp các bạn học sinh hiều thêm về khái niệm và nắm bắt phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương pháp tọa độ trong không gian.
Tóm Tắt Lý Thuyết
I. Tọa Độ Của Điểm Và Của VecTơ
1. Hệ tọa độ
Hệ 3 trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt chứa các véc tơ đơn vị \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) và vuông góc với nhau từng đôi một gọi là hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian, hay hệ toạ độ Oxyz.( Hình vẽ)
* O gọi là gốc toạ độ.
* Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz) (Oxz) đôi một vuông góc, được gọi là mặt mẳng toạ độ
* Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz
2. Tọa độ của một điểm
Trong không gian Oxyz cho điểm M bất kỳ.
Khi đó tồn tai duy nhất bộ số (x; y; z) thoả mãn \(\vec{OM} = x.\vec{i} + y.\vec{j} + z.\vec{k}\)
Ta gọi bộ ba số đó là toạ độ của điểm M.
Kí hiệu M(x; y; z) hay M = (x; y; z)
3. Tọa độ của vectơ
Trong không gian Oxyz cho vectơ \vec{a}\), khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a; b; c) sao cho:
\(\vec{u} = a.\vec{i} + b.\vec{j} + c.\vec{k}\)
Ta gọi bộ số (a; b; c) là toạ độ của véc tơ đối với hệ toạ độ Oxyz.
Kí hiệu: \(\vec{u} = (a; b; c)\) hay \(\vec{u}(a; b; c)\)
Nhận xét: Trong hệ toạ độ Oxyz toạ độ của điểm M là toạ độ của \(\vec{OM}\).
Ta có: \(M = (x; y; z) ⇔ \vec{OM} = (x; y; z)\)
II. Biểu Thức Tọa Độ Của Các Phép Toán Vectơ
1. Định lý
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\). Ta có:
a. \(\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3)\)
b. \(\vec{a} – \vec{b} = (a_1 – b_1; a_2 – b_2; a_3 – b_3)\)
c. \(k\vec{a} = k(a_1; a_2; a_3) = (ka_1; ka_2; ka_3)\)
với k là một số thực.
2. Hệ quả
a. Cho hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\)
Ta có: \(\vec{a} = \vec{b} ⇔ a_1 = b_1; a_2 = b_2; a_3 = b_3\)
b. Vectơ \(\vec{0}\) có tọa độ là (0; 0; 0)
c. Với \(\vec{b} ≠ \vec{0}\) thì hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho: \(a_1 = kb_1, a_2 = kb_2, a_3 = kb_3\)
d. Trong không gian Oxyz, nếu cho hai điểm \(A(x_A; y_A; z_A)\)
\(B(x_B; y_B; z_B)\) thì:
\(\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA} = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A)\)
III. Tích Vô Hướng
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Định lý: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\) được xác định bởi công thức:
\(\vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)
2. Ứng dụng
a. Độ dài của một vectơ
\(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)
b. Khoảng cách giữa hai điểm
\(AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}\)
c. Góc giữa hai vectơ
\(cosφ = cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.\sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}\)
Từ đó suy ra: \(\vec{a} ⊥ \vec{b} ⇔ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0\)
IV. Phương Trình Mặt Cầu
Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:
\((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = r^2\)
Các Bài Tập Trong Sách Giáo Khoa Bài 1 Hệ Tọa Độ Trong Không Gian
Hướng dẫn các bạn giải bài tập sgk bài 1 hệ tọa độ trong không gian chương 3 hình học lớp 12. Bài giúp các bạn tìm hiểu toạ độ của điểm và của vectơ, biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ, tích vô hướng, phương trình mặt cầu.
Bài Tập 1: Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Cho ba vectơ \(\)\(\overrightarrow{a}\)(2; -5; 3), \(\overrightarrow{b}\)(0; 2; -1), \(\overrightarrow{c}\)(1; 7; 2).
a. Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4.\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\).
b. Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\).
Bài Tập 2: Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Cho ba điểm A = (1; -1; 1), B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1).
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài Tập 3: Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1), C’=(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài Tập 4: Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Tính:
a. \(\)\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) với \(\overrightarrow{a}(3; 0; -6)\), \(\overrightarrow{b}(2; -4; 0)\).
b. \(\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}\) với \(\overrightarrow{c}(1; -5; 2)\), \(\overrightarrow{d}(4; 3; -5)\).
Bài Tập 5: Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a. \(\)\(x^2 + y^2 + z^2 – 8x – 2y + 1 = 0\)
b. \(3x^2 + 3y^2 + 3z^2– 6x + 8y + 15z – 3 = 0\)
Bài Tập 6: Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a. Có đường kính AB với A(4 ; -3 ; 7), B(2 ; 1 ; 3)
b. Đi qua điểm A = (5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
Vừa rồi là lý thuyết bài 1 hệ tọa độ trong không gian chương 3 hình học 12. Qua bài học giúp các bạn tìm hiểu toạ độ của điểm và của vectơ, biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ, tích vô hướng, phương trình mặt cầu. Bạn thấy nội dung bài học này thế nào, để lại ý kiến đóng góp ngay bên dưới nhé.
Trả lời