Bài 1: Nguyên Hàm

Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12

Bài 1: Nguyên Hàm

Nội dung Bài 1: Nguyên Hàm thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng môn Giải Tích Lớp 12, qua bài học này các bạn sẽ được nắm bắt các khái niệm và tính chất của nguyên hàm. Bên cạnh đó bài học còn giới thiệu đến các bạn công thức tìm nguyên hàm của một hàm số cơ bản, các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số là phương pháp biến đổi và phương pháp nguyên hàm từng phần.

I. Nguyên Hàm Và Tính Chất

1. Nguyên hàm

Câu hỏi 1 bài 1 trang 95 SGK giải tích lớp 12: Tìm hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x) nếu:

a. \(\)\(f(x) = 3x^2\) với x ∈ (-∞; +∞)

b. \(f(x) = \frac{1}{cos^2x}\) với \(x ∈ (-\frac{π}{2}; \frac{π}{2})\)

Giải:

Câu a: \(f(x) = 3x^2\) với x ∈ (-∞; +∞)

\(F(x) = x^3\) vì \((x^3)’ = 3x^2\)

Câu b: \(f(x) = \frac{1}{cos^2x}\) với \(x ∈ (-\frac{π}{2}; \frac{π}{2})\)

F(x) = tanx vì \((tanx)’ = \frac{1}{cos^2x}\)

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.

Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Ví dụ 1:

a. Hàm số \(F(x) = x^2\) là một nguyên hàm của hàm của hàm số f(x) = 2x trên khoảng (-∞; +∞) vì \(F'(x) = (x^2)’ = 2x, x ∈ (-∞; +∞)\).

b. Hàm số F(x) = lnx là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng (0; +∞) vì \(F'(x) = (lnx)’ = \frac{1}{x}, x ∈ (0; ∞)\).

Câu hỏi 2 bài 1 trang 95 SGK giải tích lớp 12: Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.

Giải: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì mọi hàm số F(x) + C, C ∈ R đều là nguyên hàm của f(x).

Câu a: Vì \(F(x) = x^2\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R nên ta cũng có một số nguyên hàm khác của f(x) = 2x là \(x^2 + 1, x^2 – 2, x^2 + \sqrt{2},…\)

Tổng quát: \(F(x) = x^2 + C, C ∈ R\) là họ nguyên hàm của f(x) = 2x.

Câu b: Vì F(x) = lnx là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên (0; +∞) nên ta cũng có một số nguyên hàm khác của \(f(x) = \frac{1}{x}\) là \(lnx + 1, lnx – 3, lnx + \frac{1}{2},…\)

Tổng quát: F(x) = lnx + C, C ∈ R là họ nguyên hàm của \(f(x) = \frac{1}{x}\).

Định lí 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Câu hỏi 3 bài 1 trang 95 SGK giải tích lớp 12: Hãy chứng minh Định lí 1.

Giải: Tính đạo hàm hàm số G(x) và sử dụng định nghĩa nguyên hàm để nhận xét.

Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))’ = f(x). Vì C là hằng số nên (C)’ = 0.

Ta có: (G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một nguyên hàm của f(x).

Định lí 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Chứng minh: Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K, tức là G'(x) = f(x), x ∈ K. Khi đó

(G(x) – F(x))’ = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0, x ∈ K.

Vậy G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K. Ta có

G(x) – F(x) = C ⇒ G(x) = F(x) + C, x ∈ K.

Hai định lí trên cho thấy:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Kí hiệu

\(\int f(x)dx = F(x) + C\)

Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ 2:

a. Với \(x ∈ (-∞; +∞), \int 2xdx = x^2 + C\)

b. Với \(s ∈ (0; +∞), \int \frac{1}{s}ds = lns + C\)

c. Với \(t ∈ (-∞; +∞), \int costdt = sint + C\)

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1: \((\int f(x)dx)’ = f(x)\) và \(\int f'(x)dx = f(x) + C.\)

Tính chất này được suy trực tiếp từ định nghĩa nguyên hàm. Ví dụ sau dây minh họa cho thấy tính chất đó.

Ví dụ 3: Ta có: \((\int cosxdx)’ = (sin x + C)’ = cosx\) và \(\int (cosx)’dx = \int (-sinx)dx = cosx + C\).

Tính chất 2: \(\int kf(x)dx = k \int f(x)dx\) (k là hằng số khác 0)

Chứng minh. Theo tính chất 1, ta có:

\((k \int f(x)dx)’ = k(\int f(x)dx)’ = kf(x)\)

Từ đó suy ra \(\int kf(x)dx = k \int f(x)dx\)

Tính chất 3: \(\int [f(x) ± g(x)]dx = \int f(x)dx ± \int g(x)dx\)

Câu hỏi 4 bài 1 trang 97 SGK giải tích lớp 12: Hãy chứng minh Tính chất 3.

Phương pháp giải:

– Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x).

– Tìm nguyên hàm hai vế và kết luận.

Giải:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x).

Ta có \(f(x) = F'(x), g(x) = G'(x)\).

Suy ra \(\int [f(x) ± g(x)]dx = \int [F'(x) ± G'(x)]dx\)

\(= \int [F(x) ± G(x)]’dx = F(x) ± G(x) + C\)

Lại có \(\int f(x)dx ± \int g(x)dx = \int F'(x)dx ± \int G'(x)dx = F(x) ± G(x) + C\).

Vậy \(\int [f(x) ± g(x)]dx = \int f(x)dx ± \int g(x)dx\) (đpcm)

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3sinx + \frac{2}{x}\) trên khoảng (0; +∞)

Giải: Với x ∈ (0; +∞), ta có:

\(\int (3sinx + \frac{2}{x})dx = 3 \int sinxdx + 2 \int \frac{1}{x}dx = -3cosx + 2lnx + C\)

3. Sự tồn tại nguyên hàm

Ta thừa nhận định lí dưới đây.

Định lí 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ 5:

a. Hàm số \(f(x) = x^{\frac{2}{3}}\) có nguyên hàm trên khoảng (0; +∞) và \(\int x^{\frac{2}{3}}dx = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + C\)

b. Hàm số \(g(x) = \frac{1}{sin^2x}\) có nguyên hàm trên từng khoảng (kπ; (k + 1)π) (k ∈ Z) và \(\int \frac{1}{sin^2x}dx = -cotx + C\).

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Câu hỏi 5 bài 1 trang 98 SGK giải tích lớp 12: Lập bảng theo mẫu dưới đây rồi dùng bảng đạo hàm trang 80 và trong SGK Đại số và Giải tích 11 để điền vào các hàm số thích hợp vào cột bên phải.

Hướng dẫn giải

Từ bảng các đạo hàm, ta có bảng nguyên hàm sau đây.

Ví dụ 6: Tính:

a. \(\int (2x^2 + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})dx\) trên khoảng (0; +∞)

b. \(\int (3cosx – 3^{x – 1})dx\) trên khoảng (-∞, +∞)

Giải:

Câu a: Với x ∈ (0; +∞) ta có:

\(\int (2x^2 + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})dx = 2\int x^2dx + \int x^{-\frac{2}{3}}dx\)

\(= \frac{2}{3}x^3 + 3x^{\frac{1}{3}} + C = \frac{2}{3}x^3 + 3\sqrt[3]{x} + C\)

Câu b: Với x ∈ (-∞; +∞) ta có:

\(\int (3cosx – 3^{x – 1})dx = 3\int cosxdx – \frac{1}{3}\int 3^xdx\)

\(= 3sinx – \frac{1}{3}\frac{3^x}{ln3} + C = 3sinx – \frac{3^{x – 1}}{ln3} + C\)

Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

II. Phương Pháp Tính Nguyên Hàm

1. Phương pháp đổi biến số

Câu hỏi 6 bài 1 trang 100 SGK giải tích lớp 12:

a. Cho \(\int (x – 1)^{10}dx\). Đặt \(u = x – 1\), hãy viết \((x – 1)^{10}dx\) theo u và du.

b. Cho \(\int \frac{lnx}{x}dx\). Đặt \(x = e^t\), hãy viết \(\frac{lnx}{x}dx\) theo t và dt.

Giải:

Câu a: Cho \(\int (x – 1)^{10}dx\). Đặt u = x – 1, hãy viết \((x – 1)^{10}dx\) theo u và du.

– Đổi biến, tìm vi phân du, dt và thay vào tìm nguyên hàm theo biến mới.

– Thay lại biến cũ và tìm nguyên hàm.

Chú ý công thức tính vi phân: du = u′dx

Ta có: u = x – 1 ⇒ x = u + 1 ⇒ dx = (u + 1)’du = du

\(⇒ (x – 1)^{10}dx = u^{10}du\)

Câu b: Cho \(\int \frac{lnx}{x}dx\). Đặt \(x = e^t\), hãy viết \(\frac{lnx}{x}dx\) theo t và dt.

– Đổi biến, tìm vi phân du, dt và thay vào tìm nguyên hàm theo biến mới.

– Thay lại biến cũ và tìm nguyên hàm.

Chú ý công thức tính vi phân: du = u′dx

Ta có: \(x = e^t ⇒ dx = (e^t)’dt = e^tdt\)

Do đó: \(\frac{lnx}{x}dx = \frac{ln(e^t)}{e^t}e^tdt = tdt\)

Định lý 1: Nếu \(\int f(u)du = F(u) + C\) và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C\).

Chứng minh: Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có

\((F(u(x)))” = F'(u).u'(x)\)

Vì \(F'(u) = f(u) = f(u(x))\) nên \((F(u(x)))’ = f(u(x))u'(x)\)

Như vậy, công thức \(\int f(u)du = F(u) + C\) đúng khi u là biến số độc lập thì cũng đúng khi u là một hàm số của biến số độc lập x.

Hệ quả: \(\int f(ax + b)dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C; (a ≠ 0)\)

Ví dụ 7: Tính \(\int sin(3x – 1)dx\)

Giải: Vì \(\int sinudu = -cosu + C\) nên theo hệ quả ta có

\(\int sin(3x – 1)dx = -\frac{1}{3}cos(3x – 1) + C\)

Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ 8: Tính \(\int \frac{x}{(x + 1)^5}dx\)

Giải: Đặt u = x + 1 thì du = dx. Khi đó, tích phân đã cho trở thành \(\int \frac{u – 1}{u^5}du = \int (\frac{1}{u^4} – \frac{1}{u^5})du\)

\(= \int u^{-4}du – \int u^{-5}du = -\frac{1}{3}.\frac{1}{u^3} + \frac{1}{4}.\frac{1}{u^4} + C\)

Thay u = x + 1 vào kết quả, ta được

\(\int \frac{x}{(x + 1)^5}dx = \frac{1}{(x + 1)^3}(\frac{1}{4}.\frac{1}{x + 1} – \frac{1}{3}) + C\)

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Câu hỏi 7 bài 1 trang 101 SGK giải tích lớp 12:

Ta có \((xcosx)’ = cosx – xsinx\) hay \(-xsinx = (xcosx)’ – cosx\)

Hãy tính \(\int (xcosx)’dx\) và \(\int cosxdx\). Từ đó tính \(\int xsinxdx\)

Giải: Tính các nguyên hàm, sử dụng công thức: \(\int f'(x)dx = f(x) + C\) và các tính chất của nguyên hàm.

Ta có: \(\int (xcosx)’dx = xcosx + C_1\) và \(\int cosxdx = sinx + C_2\)

Do đó \(\int xsinxdx = -\int (-xsinx)dx = -\int[(xcosx)’ – cosx]dx\)

\(= -\int (xcosx)’dx + \int cosxdx = -xcosx – C_1 + sinx + C_2\)

\(= -xcosx + sinx + C\)

Định lý 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

\(\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) – \int u'(x)v(x)dx\)

Chứng minh: Từ công thức đạo hàm của tích

\((u(x)v(x))’ = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)

hay \(u(x)v'(x) = (u(x)v(x))’ – u'(x)v(x)\)

ta có \(\int u(x)v'(x)dx = \int (u(x)v(x))’dx – \int u'(x)v(x)dx\)

Vậy \(\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) – \int u'(x)v(x)dx\)

Chú ý: Vì \(v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du\), nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng

\(\int udv = uv – \int vdu\)

Đó là công thức tính nguyên hàm từng phần.

Ví dụ 9: Tính

a. \(\int xe^xdx\)

b. \(\int xcosxdx\)

c. \(\int lnxdx\)

Giải:

Câu a: Đặt u = x và \(dv = e^xdx\), ta có du = dx và \(v = e^x\). Do đó

\(\int xe^xdx = xe^x – \int e^xdx = xe^x – e^x + C\)

Câu b: Đặt u = x và dv = cosxdx, ta được du = dx và v = sinx. Vậy

\(\int xcosxdx = xsinx – \int sinxdx\)

hay \(\int xcosxdx = xsinx + cosx + C\)

Câu c: Đặt u = lnx, dv = dx, ta có \(du = \frac{1}{x}dx\) và v = x. Do đó

\(\int lnxdx = xlnx – \int dx = xlnx – x + C\)

Câu hỏi 8 bài 1 trang 102 SGK giải tích lớp 12: Cho P(x) là đa thức của x. Từ Ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tính nguyên phân hàm từng phần.

Giải:

Bài Tập Bài 1: Nguyên Hàm

Hướng dẫn giải bài tập Bài 1: Nguyên Hàm thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng môn Giải Tích Lớp 12. Bài học giúp các bạn học sinh nắm khái niệm nguyên hàm và các tính chất cơ bản; biết được 2 phương pháp tính nguyên hàm (đổi biến và từng phần), tính nguyên hàm của các hàm số bằng hai phương pháp trên.

Bài Tập 1 Trang 100 SGK Giải Tích Lớp 12

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

a. \(e^{-x}\) và \(-e^{-x}\)

b. \(sin2x\) và \(sin^2x\)

c. \((1 – \frac{2}{x})^2e^x\) và \((1 – \frac{4}{x})e^x\)

Bài Tập 2 Trang 100 SGK Giải Tích Lớp 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a. \(f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}\)

b. \(f(x) = \frac{2^x – 1}{e^x}\)

c. \(f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x}\)

d. \(f(x) = sin5x.cos3x\)

e. \(f(x) = tan^2x\)

g. \(f(x) = e^{3 – 2x}\)

h. \(f(x) = \frac{1}{(1 + x)(1 – 2x)}\)

Bài Tập 3 Trang 101 SGK Giải Tích Lớp 12

Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:

a. \(\int (1 – x)^9dx\) (đặt \(u = 1 – x\))

b. \(\int x(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\))

c. \(\int cos^3xsinxdx\) (đặt \(t = cosx\))

d. \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2}\) (đặt \(u = e^x + 1\))

Bài Tập 4 Trang 101 SGK Giải Tích Lớp 12

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a. \(\int xln(1 + x)dx\)

b. \(\int (x^2 + 2x – 1)e^xdx\)

c. \(\int xsin(2x + 1)dx\)

d. \(\int (1 – x)cosxdx\)

---

Trên là lý thuyết Bài 1: Nguyên Hàm thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng môn Giải Tích Lớp 12. Bài học giúp các bạn học sinh nắm khái niệm nguyên hàm và các tính chất cơ bản; biết được hai phương pháp tính nguyên hàm (đổi biến và từng phần), tính nguyên hàm của các hàm số bằng hai phương pháp trên.