Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 1: Nguyên Hàm
Nguyên Hàm! Thông qua bài học này các em sẽ được nắm bắt các khái niệm và tính chất của nguyên hàm. Bên cạnh đó bài học còn giới thiệu đến các em công thức tìm nguyên hàm của một hàm số cơ bản, các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số là phương pháp biến đổi và phương pháp nguyên hàm từng phần.
Tóm Tắt Lý Thuyết
I. Nguyên Hàm Và Tính Chất
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K
Định lý:
– Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
– Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
2. Tính chất của nguyên hàm
\(\int f'(x)dx = f(x) + C\)
\(\int kf(x)dx = k \int f(x)dx\) (k là hằng số khác 0)
\(\int [f(x) ± g(x)]dx = \int f(x)dx ± \int g(x)dx\)
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
| \(\int 0dx = C\) | \(\int a^xdx = \frac{a^x}{lna} + C\) (a > 0, a ≠ 1) |
| \(\int dx = x + C\) | \(\int cosxdx = sinx + C\) |
| \(\int a^αdx = \frac{1}{α + 1}x^{α + 1} + C\) (α ≠ -1) | \(\int sindx = -cos + C\) |
| \(\int \frac{1}{x}dx = ln|x| + C\) | \(\int \frac{1}{cos^2x}dx = tanx + C\) |
| \(\int e^xdx = e^x + C\) | \(\int \frac{1}{sin^2x}dx = -cotx + C\) |
II. Phương Pháp Tính Nguyên Hàm
1. Phương pháp đổi biến số
Định lí:
Nếu \(\int f(u)du = F(u) + C v u = u(x)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C\)
Hệ quả: Với u = ax + b (a ≠ 0), ta có \(\int f(ax + b)dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C\)
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lý: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
\(\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) – \int u'(x)v(x)dx\)
Chú ý: Vì v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du, nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng: \(\int udv = uv – \int vdu\).
Bài Tập & Lời Giải Bài Tập 1 Nguyên Hàm – Giải Tích 12
Hướng dẫn giải bài tập sgk bài 1 nguyên hàm chương 3 giải tích lớp 12. Bài học giúp các bạn học sinh nắm khái niệm nguyên hàm và các tính chất cơ bản; biết được 2 phương pháp tính nguyên hàm (đổi biến và từng phần), tính nguyên hàm của các hàm số bằng hai phương pháp trên.
Bài Tập 1: Trang 100 SGK Giải Tích Lớp 12
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?
a. \(\)\(e^{-x}\) và \(- e^{-x}\);
b. \(sin2x\) và \(sin^2x\)
c. \((1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}\) và \((1-\frac{4}{x})e^{x}\)
Bài Tập 2: Trang 100 – 101 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?
a. \(\)\(f(x)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\).
b. \(f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}\).
c. \(f(x)=\frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\).
d. \(f(x) = sin5x.cos3x\).
e. \(f(x) = tan^2x\).
g. \(f(x) = e^{3-2x}\).
h. \(f(x)=\frac{1}{(1+x)(1-2x)}\).
Bài Tập 3: Trang 101 SGK Giải Tích Lớp 12
Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:
a. \(\)\(∫{(1-x)}^9dx\) (đặt \(u =1-x\) ) ;
b. \(∫x{(1 + {x^2})^{{3 \over 2}}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\)
c. \(∫cos^3xsinxdx\) (đặt \(t = cosx\))
d. \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\) (đặt \(u= e^x+1\))
Bài Tập 4: Trang 101 SGK Giải Tích Lớp 12
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a. \(\)\(\int xln(1+x)dx\).
b. \(\int (x^2+2x+1)e^xdx\).
c. \(\int xsin(2x+1)dx\)
d. \(\int (1-x)cosxdx\).
Trên là lý thuyết nội dung bài 1 nguyên hàm chương 3 giải tích lớp 12. Bài học giúp các bạn học sinh nắm khái niệm nguyên hàm và các tính chất cơ bản; biết được 2 phương pháp tính nguyên hàm (đổi biến và từng phần), tính nguyên hàm của các hàm số bằng hai phương pháp trên.
Trả lời